پایان نامه کوانتومی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 پایان نامه کوانتومی دارای ۱۱۷ صفحه می باشد و دارای تنظیمات و فهرست کامل در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد پایان نامه کوانتومی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : توضیحات زیر بخشی از متن اصلی می باشد که بدون قالب و فرمت بندی کپی شده است

بخشی از فهرست مطالب پایان نامه کوانتومی

پیشگفتار   
۱- درهم تنیدگی و جداپذیری   
۱-۱ –حالت   
۱-۲- فضای هیلبرت   
۱-۳- کیوبیت   
۱-۴- ماتریس چگالی   
۱-۴-۱- عملگر چگالی تقلیل یافته   
۱-۴-۲- ترانهاده جزئی   
۱-۵- درهم تنیدگی و جداپذیری   
۲- ملاکهای تشخیص درهم تنیدگی   
۲-۱- معیارهای عملیاتی   
۲-۱-۱- معیار پرس   
۲-۱-۲- معیار تقلیل یافتگی   
۲-۱-۳- معیار تفوق   
۲-۱-۴- معیار هم ترازی  
۲-۲- معیارهای غیر عملیاتی   
۲-۲-۱- معیار نگاشت مثبت   
۲-۲-۲- معیار گواه های در هم تنیدگی   
۳- مقیاسه ای در هم تنیدگی   
۳-۱- آنتروپی فون نیومن   
۳-۲- مقیاس درهم تنیدگی قابل تقطیرومقیاس هزینه درهم تنیدگی   
۳-۳ –درهم تنیدگی ساختار   
۳-۳-۱- یک زوج کیوبیت   
۳-۳-۲- حالت ورنر   
۳-۴- منفیت   
۳-۵- روش تجزیه   
۳-۶- درجه درهم تنیدگی برای یک سیستم کیوبیت کیوتریت در حالت خالص ;
۴- پیدا کردن حالتهای با بیشترین درهم تنیدگی برای سیستم کیوبیت –کیوتریت   
۴-۱- محاسبه ضرایب اشمیت برای سیستم کیوبیت–کیوتریت   
۴-۲- محاسبه حالتهای با حداکثر درهم تنیدگی برای سیستم کیوبیت–کیوتریت   
۴-۳ – مقایسه با چند مقیاس درهم تنیدگی   
۴-۳-۱ آنتروپی فون نیومن   
۴-۳-۲- درهم تنیدگی ساختار   
۴-۳-۳- منفیت   
۵- ارتباط از راه دور  
۵-۱- مفهوم ارتباط از راه دور  
۵-۲- ارتباط از راه دوراستاندارد   
۵-۳- ارتباط از راه دورهمراه با نوفه   
۵-۳-۱- عوامل تولید نوفه   
۵-۳-۱-۱- کانال معیوب   
۵-۳-۱-۲- عملگرهای معیوب   
۵-۳-۱-۳- اندازه گیری معیوب   
۵-۳-۲- اعمال عوامل نوفه در فرایند ارتباط از راه دور  
۶- درهم تنیدگی کمکی
۶-۱- درهم تنیدگی کمکی 
۶-۲- ماکزیمم احتمال تقطیر یک حالت بل از حالت سه تایی اولیه
۶-۳- رده
۶-۴- شرایط رده  
۶-۵- اندازه رده
۶-۵-۱- روش تحلیلی
۶-۵-۲- روش عددی
۶-۵-۲-۱- سیستم ۲×۲×
۶-۵-۲-۲- سیستم ۴×۲×
پیوست ۱ : جبر خطی   
پیوست ۲ : تجزیه اشمیت   
پیوست ۳ : عملیات موضعی وارتباطات کلاسیکی LOCC   
مراجع   
واژه نامه

بخشی از منابع و مراجع پایان نامه کوانتومی

[ABLS01] A. Acin, D. Bruss, M. lewenstein and A. Sanpera,
” Classification of mixed three-qubit states”, Phys. Rev. Lett 87, 040401 (2001), arXiv: quant-ph/

[ASST01] A. F. Abouraddy, B. E. A. Saleh, A. V. Sergienko and M. C. Tiech., “Degree of entanglement for two qubits”, Phys. Rev. A 64 .R 050101 (2001), arXiv: quant-ph/

[BBP⁺۹۶] C. H. Bennett, G. Brassard, S. Popescue, B. Schcmacher , J. A. Smolin and W. K. Wootters, “Purification of Noisy Entanglement and Faithful via Noisy channels “., Phys. Rev. Lett 76 (5), 722 (1996), arXiv: quant-ph/

[BBPS96] C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescue and B. Schumacher.,“ Concentrating partial entanglement by local operation “, Phys. Rev. A 53, 2046 (1996), arXiv: quant-ph /

[BDSW96] C. Bennett, D. DiVincenzo, J. Smolin and W. K. Wootters, “Mixed state entanglement and quantum error correction”, Phys. Rev. A 54 (5), 3824 (1996), arXiv: quant-ph/

[Bel64] J. S. Bell,  “On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox”, Physics 1, 195(1964). Reprinted in J. S. Bell, “Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics”, Cambridge University Peres, Cambridge ,

[Bru0l] D. Bru, “Characterizing entanglement”, J. Math. Phys 43, 4237(2002), arXiv: quant-ph /

[Coh98] O. Cohen, “Unlocking hidden entanglement with classical information”,  Phys. Rev. Lett 80, 2493(1998)

[CW02] A. Chen and L. A. Wu, “A matrix realignment method for recognizing entanglement”, Quantum Inf .Comput 3(3),198(2000), arxiv: quant-ph /

[DBCZ99] W. Dür, H. J. Briegel, J. I. Cirac and P. Zoller , “Quantum repeaters based on entanglement purification” , Phys. Rev. A 59(1),169  ( ۱۹۹۹), arXiv:quant-ph/

[DFM⁺۹۹] D. P. DiVincenzo, C. A. Fuchs, H. Mabuchi, J. A. Smolin, A. Thapliyal and A. Uhlmann, “Entanglement of assistance”, in Lecture Notes in Computer Science 1509(Springer-Verlag, Berlin 1999) pp.247-257, arXiv: quant-ph/

[EP99] J. Eisert and M. B. Plenio “A Comparison  of entanglement measures”, J. Mod. Opt.46.145(1999), arXiv: quant-ph/

[EPR 35] A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, “Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete” Phys. Rev 47, 777(1935)

[Ger03] E. Gerjouy.,”Lower bounds on entanglement of formation for the Qubit- Qudit”, arXiv: quant-ph/030/

[GMS05] G. Gour, D. Meyer and B. C. Sanders, “Deterministic entanglement of assistance and monogamy constraints” ,Phys. Rev. A 72, 042329(2005), arXiv: quant-ph/

[H97] P. Horodecki, “Separability criterion and inseparable mixed state with positive partial transposition”, Phys. Lett. A 232, 333 (1997), arXiv: quant-ph /

[HH99] M. Horodecki and P. Horodecki, “Reduction criterion of separability and limits for a class of protocol of entanglement distillation” , Phys. Rev. A 59, 4206(1999), arXiv: quant-ph /

[HHH96] M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki, “Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions”, Phys. Lett. A 223, 1(1996), arXiv: quant–ph/

[HHH97] M.Horodecki ,P.Horodecki and .R.Horodecki, “Inseparaparable two Spin 1/2 density matrices can be distilled to a single form “, Phys. Rev. Lett 78(4),574 (1997)

[HHH98] M.Horodecki  and R.Horodecki, “Mixed -state entanglement and distillation : is there a “bound “entanglement in nature ” , Phys. Rev. Lett 80 (24) ,5239 (1998),arXiv: quant -ph/

[HJ91] R. A. Horn and C. R. Johnson, “Topics in Matrix Analysis”,   (Cambridge University Press, New York 1991)

[HJW93] L. P. Hughston, R. Jozsa and W. K. Wotters, “A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix” , Phys. Lett. A 183, 14(1993)

[HW97] S. Hill and ,W. K. Wootters , “Entanglemnt of a pair of quantum bits “. Phys. Rev. Lett.78(26) ,5022 (1997), arXiv
quant-ph/

[J06] S. Jami, “Noisy teleportation”, arXiv: quant-ph/

[JBG⁺۰۶] s. Jami, S. Bandyopahyay, G. Gour, B. C. Sanders and D. Meyer, ” Probabilistic entanglement of assistance”, in preparation

[JS05] S. Jami and M. Sarbishei, “Maximally entangled state for
qubit –qutrit system”, Indian. J. Phys.19 (2), 167(2005)

[JS06] S. Jami and M. Sarbishei, “Degree of entanglement for qubit-qutrit system”, arXiv: quant-ph/

[LP93] C. F. Van Loan and N. P. Pitsianis,” Linear algebra for large scale and  time applications” ,edited by M. S. Moonen and G. H. Golub (Kluwer Publications, 1993) pp.293-314;  N.P. Pitsianis, Ph.D thesis ,”The kronecker product in approximation and fast transform generation”, Cornell University, New York,

[NC00] M. A. Nielsen and I. L. Chuang,  “Quantum computation and Quantum Information”, Cambridge University Press, Cambridge,

[NK00]  M. A. Nielsen and J. Kemp, “Separable states are more disordered globally than locally” Phys. Rev. Lett 86, 5184 (2001), arXiv: quant-ph/

[Per93] A.Peres ,”Quantum Theory :Concepts and Methods” , Kluwer ,The Netherlands ,

[Per96] A. Peres, “Separability criterion for density matrices”,

[PZK98] M.Pozniak, K. Pozniak, K. Z. Zyczkowski and M. Kus, “Composed ensembles of random unitary matrices”, J. Phys. A 31,1059(1998)

[Rud02] O. Rudolph, “Further results on the cross norm criterion for separability”, arXive: quant-ph/

[Sch35] E. Schrdinger, Proc. Cambridge. Phil. Soc. 31,555(1935)

[Ter00] B. Terhal, “Bell inequalities and the separability criterion”, Phys. Lett. A 271,319 (2000), arXiv: quant-ph/

[VW00] K. G. H. Vollbrecht and R. F. Werner, “Entaglement measures under symmetry”, arXiv: quant-ph/

[VW02] G. Vidal and  R. F. Werner ,”Computable measure of entanglement”, Phys. Rev. A 65 .032314 (2001), arXiv
quant -Ph /

[Win05] A.Winter, “Entanglement of assistance and applications to multi-user quantum theory”, QIP 2005, The eight workshop on Quantum Information Proccesing(2005)

[Woo01] W. K. Wootters, “Entanglement of formation and concurrence”,  Quantum Inf. Comput 1(1),27 (2001), http://www.rinton press.com /journals/qic -1-1/eof 2-pdf

[Woo98] W. K. Wootters, “Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits “, Phys. Rev. Lett.80(10),2245 (1998), arXiv: quant-ph/

[WSHV01] J. Walgate, A. S. Short, L. Hardy and V. Vedral, “Local distinguishabality of multipartite orthogonal quantum state”. Phys. Rev. Lett 85, 4972(2001), arXiv: quant-ph/

[Zyc99] K. Zyczkowski,”On the volume of  the set of mixed  entangled  Stata II”, Phys. Rev.A 60, 3496(1999), arXiv
quant-ph/

پیشگفتار

حدود۷۰ سال پیش، اروین شرودینگر نام Verschrankung را به طبیعت همبستگی کوانتومی اطلاق کرد ] Sch35 .[ درز بان محاوره آلمانی برای مردم غیرفیزیکدان این اصطلاح به معنای ” مچ انداختن ” کار می رود. این واژه درزبان انگلیسی Entanglement و درزبان فارسی در هم تنیدگی ترجمه شده است که درمعنای ضمنی خود رساتر می باشد . در هم تنیدگی کوانتومی ، نخستین بار در سال ۱۹۳۵ ، توسط انیشتن و همکارانش پادولسکی و روزن۱ ، ] EPR35 [ به طور جدی مورد بحث قرار گرفت . ایده این دانشمندان به صورت پارادوکسی با حروف اول اسامی آنها یعنی EPR معروف شده است . این خاصیت در سالهای اولیه پیدایش به صورت یک معما بود ، زیرا وجود حالت های درهم تنیده ، پدیده های غیر کلاسیکی  را تولید می کند . در آن زمان وضعیت و غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده ، موضوع اختلاف انیشتن و همکارانش  از یک طرف و طرفداران مکتب کپنهاگی  از سوی دیگر بود . اما اکثر فیزیکدانان نمی توانستند دلایل موجود در مقاله EPR  در رد مکانیک کوانتومی را بپذیرند. تا اینکه در دهه ۱۹۶۰ ، یک آزمایش تجربی برای تحقیق درستی یا نادرستی نظریه EPR پیشنهاد شد . درآن زمان، بل نامساوی موسوم به نامساوی بل را پیشنهاد کرد] Bel64 [ . این نامساوی تاییدی بر غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده است

با گذشت بیش از چند دهه ، هنوز این خاصیت چه از دیدگاه تئوری و چه از دیدگاه عملی بسیار جالب است . در واقع درهم تنیدگی یکی از حیرت انگیزترین جنبه های فرمولبندی  مکانیک کوانتومی می باشد

درهم تنیدگی رفتار کوانتومی سیستم های دو یا چند ذره ای است که نخست با هم برهم کنش کرده و سپس از هم جدا می شوند. براساس مکانیک  کوانتومی ، ذرات جدا شده از هم ، حتی وقتی که هیچ برهم کنش شناخته شده ای بین آنها وجود نداشته باشد، برهم اثر می کنند و داشتن اطلاعات درباره یکی ، منجر به کسب اطلاعات درباره دیگری می شود . در چند سال گذشته با ظهور نظریه اطلاعات کوانتومی و محاسبات کوانتومی، باردیگر بحث درهم تنیدگی اهمیت فراوان یافته است. کاربردهای متعددی  ازحالت های درهم تنیده کوانتومی پیشنهاد شده، از جمله در محاسبات کوانتومی و انتقالات کوانتومی از راه دوراز این مفهوم استفاده می شود. با به کارگیری سیستم های درهم تنیده کوانتومی در انجام محاسبات و ارتباطات می توان این اعمال را در مقایسه با روش های کلاسیکی سریعتر و از طریقی ایمن تر انجام داد

بطور کلی انگیزه بررسی  مبحث  درهم تنیدگی  را می توان در چهار مورد زیر خلاصه کرد

۱- انگیزه  فلسفی : همانطوریکه دیدیم در هم تنیدگی  ابتدا بعنوان یکی از مسائل بنیادی و نظری  مکانیک کوانتومی، با طرح مقاله EPR  مطرح شد.  درهم تنیدگی ازاین  دیدگاه فلسفی هنوز هم ، قابل بررسی است

۲- انگیزه بنیادی فیزیکی :  درهم تنیدگی یکی از مهمترین مسائل باز مکانیک کوانتومی است که باید به این سوال پاسخ دهد که :  طبیعت همبستگی های کوانتومی در سیستمهای مرکب چیست ؟

۳- انگیزه فیزیک کاربردی: درهم تنیدگی  نقش اساسی درکاربرد فیزیک کوانتومی در اطلاعات کوانتومی دارد . که اخیرا به آن توجه زیادی شده است و بعلت لزوم کاربرد آن در شاخه های مختلف اطلاعات کوانتومی مثل کامپیوترهای کوانتومی ، رمزنگاری کوانتومی، انتقالات کوانتومی از راه دور و; پتانسیل عظیمی از افراد و بودجه را درسالهای اخیر به خود اختصاص داده است

۴- انگیزه ریاضی محض : مساله در هم تنیدگی مستقیما به یکی از مسائل مهم و باز جبر خطی و آنالیز بنیادی ، یعنی مشخص کردن و طبقه بندی نگاشت های مثبت در جبر ^*C مربوط می شود

با ذکر انگیزه های مختلف این بحث ، می توان حدس زد که افراد مختلف با انگیزه های مختلف، شروع به ساختن پایه های تئوری این مبحث کرده اند تا با تکمیل شدن هرچه بیشتر تئوری،  بتوان به کاربردهای صنعتی و تکنولوژیکی  مهم آن درست یافت

در این پایان نامه قصد داریم به معرفی  دانش کلی و برخی خصوصیات این ویژگی  کوانتومی بپردازیم. در فصل اول پایان نامه ، تعریف بعضی مفاهیم و به طور خاص تعریف درهم تنیدگی و جداپذیری  را ارائه داده ایم. اولین و مهمترین بحث در مطالعه سیستم های کوانتومی درهم تنیده ، تشخیص درهم تنیدگی می باشد . طی سالهای گذشته برای تشخیص در هم تنیدگی معیارهای مختلفی  معرفی شده اند. در فصل دوم بعضی از این معیارها را ارائه خواهیم کرد و مثالی از کاربرد هریک از ملاکها بیان خواهیم کرد. درجه هم تنیدگی  سیستم های کوانتومی متفاوت است، برخی سیستم ها از جمله حالتهای بل دارای حداکثر مقدار درهم تنیدگی می باشند و سیستم های کوانتومی دیگر درجه هم تنیدگی  کمتری دارند. تاکنون روش های مختلفی برای تشخیص اندازه درهم تنیدگی حالتها پیشنهاد شده است . در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم کرد و یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی یک سیستم کوانتومی خاص “کیوبیت-کیوتریت” بدست می آوریم. در فصل چهارم همان سیستم کوانتومی  خاص  “کیوبیت – کیوتریت” را در نظر می گیریم  و برای این سیستم کوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی  را بدست می آوریم . درفصل پنجم یکی از کاربردهای  درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی
می کنیم.  و بالاخره در فصل ششم مفهوم در هم تنیدگی کمکی را بیان کرده و شرایط حاکم بر رده خاصی از حالتها را که این مقدار برایشان به راحتی قابل محاسبه است ، بدست  می آوریم و بزرگی این رده را در دو حالت مختلف محاسبه می کنیم

 

فصل اول

 درهم تنیدگی و جداپذیری

در این فصل ، پس ازذکرمقدمات ، تعریف درهم تنیدگی ، حالت در هم تنیده و حالت جداپذیر را ارائه می دهیم

۱-۱  حالت : یک توصیف کامل از یک سیستم  فیزیکی را حالت گوییم. در مکانیک کوانتومی ، یک حالت ، یک بردار در فضای هیلبرت است

۱-۲   فضای هیلبرت  :یک فضای برداری  روی اعداد مختلط C می باشد . بردارها را به صورت  نشان می دهیم یک ضرب داخلی به صورت   در این فضا وجود دارد که می تواند یک زوج مرتب از بردارها را به C (اعداد مختلط) نگاشت کند که این ضرب داخلی خواص ز یررا دارد

مثبت بودن  برای  

خطی بودن

تقارن Skew

فضای هیلبرت با نرم     یک فضای کامل است

۱-۳  کیوبیت : کوچکترین واحد اطلاعات کلاسیکی بیت نام دارد  که دو مقدار   را می تواند داشته باشد. واحد مربوطه در اطلاعات کوانتومی یک بیت کوانتومی یا کیوبیت می باشد که یک حالت را در ساده ترین سیستم کوانتومی توصیف می کند . کوچکترین فضای هیلبرت دو بعدی است ، می توان پایه های راست هنجار این فضا را به صورت و  در نظر گرفت.  در اینصورت حالت نرمالیزه کلی به صورت  بیان می شود که  و اعداد مختلط هستند و .  یک کیوبیت یک حالت در فضای هیلبرت دو بعدی است که در حالت کلی بصورت بالاست . با اندازه گیری روی یک کیوبیت ، کیوبیت به یکی از حالتهای  یا   تصویر می شود . حالت    با احتمال   و با احتمال   بدست می آید . نکته مهم اینست که اندازه گیری حالت سیستم را تغییر می دهد . بعبارتی با یک اندازه گیری نمی توان حالت سیستم را بدست آورد. چون پس از اندازه گیری سیستم در یکی از دو حالت   یا  است و حالت قبلی سیستم از بین رفته است . برخلاف کیوبیت ، یک بیت کلاسیکی را به راحتی می توان اندازه گیری  کرد، بدون اینکه حالت سیستم  خراب شود و در واقع می توان تمام اطلاعات داخل یک بیت را خواند

۱-۴  ماتریس چگالی : مکانیک کوانتومی در طی سالهایی که از تولد آن گذشته است ، به روشهای مختلفی فرمول بندی شده است .یکی از روشهای بیان مکانیک کوانتومی ، براساس روش ماتریس چگالی است.  این روش درمواردی که حالت یک سیستم کوانتومی بطور کامل مشخص نیست، ویا درمواردی که سیستم ما مرکب ازدو یا چند زیرسیستم  است ، کارآیی زیادی دارد . یک قضیه که ما دراینجا آنرا اثبات نمی کنیم ، بیان  می کند که ، اپراتور را اپراتور چگالی گوییم اگر و فقط اگر ، دو شرط زیر را داشته باشد

۱)   ماتریسی  با رد واحد باشد

یک اپراتور مثبت باشد

توضیح اینکه ما در این بحث از اپراتور چگالی و ماتریس چگالی به یک مفهوم استفاده می کنیم. وماتریس  مثبت،  ماتریسی  است که ویژه مقادیر غیر منفی داشته باشد

در بحث ماتریس چگالی  ازآنسامبل حالتها استفاده می کنیم  که می توان آنسامبل خالص، کاملا تصادفی و مخلوط را تعریف کرد. اگرحالت سیستم کاملا مشخص باشد یک حالت خالص داریم: . در غیر اینصورت یک حالت  مخلوط داریم که مخلوطی از حالتهای خالص فوق است .ماتریس چگالی را بر حسب حالتهای سیستم به صورت زیر نشان می دهیم

(۱-۱)

که درآن احتمال حضور در هر حالت خاص است و. برای یک حالت خالص شرط   را داریم در حالیکه برای یک حالت مخلوط
می باشد

۱-۴-۱  عملگر چگالی تقلیل یافته :

یکی ازمهمترین دلایل استفاده ازماتریس چگالی بعنوان ابزار ریاضی بیان مبحث درهم تنیدگی، اینست که می توان برای توصیف زیر سیستم های یک سیستم کوانتومی ازآن استفاده کرد.فرض کنید سیستم های فیزیکی A و B ، سیستم کلی را بسازند . اپراتور چگالی تقلیل یافته برای سیستم A به صورت زیر تعریف می شود

(۱-۲)

که در آن   رد جزئی نسبت به زیر سیستم B است و به صورت زیر نوشته می شود

(۱-۳)

که و دو بردار  در فضای حالت  Aو  و   دو برداردر فضای حالت B می باشند اپراتورtr  که در سمت راست معادله ظاهر شده است ، اپراتور رد  روی زیر سیستم B می باشد بطوریکه

(۱-۴)

۱-۴-۲  ترانهاده جزئی :

برای هر ماتریس  چگالی که روی فضای  تعریف شده باشد ، عناصر ماتریسی آنرا می توان به صورت زیر نوشت

(۱-۵)

که درآن   و  پایه های راست هنجار دلخواه در فضای هیلبرت هستند که به ترتیب زیر سیستم اول و دوم را توصیف می کنند . ترانهاده جزئی نسبت به یکی از زیر سیستم ها (مثلا دومی ) به صورت زیر تعریف می شود

(۱-۶)

همانطوریکه ملاحظه می شود رد جزئی  نسبت به زیر سیستم  دوم ، فقط همان اندیسهای لاتین مربوط به زیرسیستم دوم را تغییر داده است . و یا می توان این عمل را به صورت زیر نشان داد

(۱-۷)

که در آن T عملگر ترانهاده است

۱-۵   درهم تنیدگی و جداپذیری  :

پس از ذکر مقدمات لازم برای ورود به بحث ، حال به موضوع اصلی در این پایان نامه می پردازیم . می خواهیم توصیف علمی و دقیقی  از مفهوم جداپذیری  و یا درهم تنیدگی یک حالت کوانتومی ارائه دهیم . این موضوع برای حالتهای خالص بسیار ساده است : یک حالت خالص جداپذیر  نامیده می شود اگر و فقط اگر بتوان آنرا به صورت    نوشت و در غیر اینصورت درهم تنیده است

بعنوان مثالی از یک حالت جداپذیر  را می توان نام برد و مثال برای حالتهای در هم تنیده خالص ، حالتهای بل هستند

(۱-۸)

در مورد حالتهای مخلوط: یک حالت  مخلوط  جداپذیر است اگر توسط دو جزء که به طور سنتی آلیس و باب نامیده می شوند به یک روش کلاسیکی آماده شده باشد .ماتریس  چگالی که به این روش تولید شده باشد تنها می تواند همبستگی های کلاسیکی داشته باشد . به زبان ریاضی می توان گفت یک حالت مخلوط      جداپذیر  است اگرو فقط اگر بتوان آن را  به صورت زیر نوشت

(۱-۹)

و در غیر اینصورت در هم تنیده است . در اینجا  ها حالتهای مربوط به زیر سیستم اول (آلیس ) و  ها حالتهای مربوط به زیر سیستم دوم ( باب ) می باشند و باید دقت کرد که در حالت کلی  و همچنین حالتهای باب نیز لزوما راست هنجار نیستند. و ضرایب  احتمال ها هستند به طوری که   و

یک مثال از یک حالت جداپذیر مخلوط که همبستگی کلاسیکی دارد ولی همبستگی کوانتومی ندارد ماتریس چگالی  می باشد . مثالی از یک حالت در هم تنیده مخلوط یک حالت ورنر۱ است که مخلوطی از یکی از حالتهای بل با ماتریس واحد می باشد

(۱-۱۰)

که درآن  . حد پایین p  برای اینکه حالت ورنر در هم تنیده باشد از ملاکهای در هم تنیدگی بدست می آید

 

فصل دوم

 ملاکهای تشخیص  درهم تنیدگی