مقاله در مورد بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 مقاله در مورد بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه دارای ۳۴ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله در مورد بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله در مورد بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن مقاله در مورد بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه :

بررسی روش انرژی و کاربرد آن در خواص کششی پارچه

۱- مقدمه :

میکرومکانیکهای پارچه را بر اساس روش واحد کوچک مرسوم بررسی خواهیم کرد. بصورتیکه یک پارچه را به عنوان یک شبکه‌ای از واحدهای کوچک مشخص و تکرار شونده در نظر گرفته شده و به شکل موجهای تجعد در ساختار پارچه های تاری و پودی و حلقه های سه بعدی در ساختار پارچه های حلقوی قرار گرفته اند.

پارچه ها یک نوع مواد پیچیده‌ای هستند که حتی بطور تقریبی از حالتهای ایده آل ونرمال فرض شده در آنالیز ساختاری مهندسی و مکانیک نیز پیروی نمی کنند . همچنین مطالعات هندسه پارچه ، نقش اساسی در توسعه فرآیند کنترل کیفیت طراحی، و تقویت پایداری ابعادی و خصوصیات پارچه در طول مدت تولید و کاربرد را ایفا می کند .

در مورد پارچه های تاری پودی ، روشهای آنالیز نیرو بطور گسترده‌ای برای مطالعه و تفسیر خواص مکانیکی پارچه مثل کشش ، خمش و برش مورد استفاده قرار گرفته است .اگر چه در مورد پارچه های حلقوی بدلیل طبعیت سه بعدی حلقه های متقاطع ، آنالیز روش نیرو بسیار پیچیده است . در هر دو روشهای آنالیز هندسی و نیرو برای پارچه های تاری /پودی و حلقوی ،؛ تعدادی از فرضیات اولیه در ارتباط با طبیعت تماسهای نخ و شکل سطح مقطع نخ در هر واحد کوچک از پارچه لازم می باشد .

این فرضیات معمولاً خطاهای زیادی در مورد هر نوع آنالیز مکانیکی پارچه یا خواص رئولوژی آن را به همراه دارد .

در این بحث ، نشان داده می شود که روشهای آنالیز مینیمم کردن انرژی بر بسیاری از مشکلات قبلی روشهای آنالیز گذشته، برتری خواهد داشت تکنیکهای مینیمم انرژی به طورکلی قوی هستند وقتی که برای مطالعه ساختارها و مشخصات تغییر فرم الاستیک پارچه ( بعد از استراحت ) بکار می روند . همچنین اجازه می دهد که مقایسه های مستقیم در حالتهایی که پارامترهای نرمال شده بی بعد بین ساختمانهای مختلف پارچه تاری و پودی و حلقوی ، را بوجود آورد . آنالیز انرژی بر اساس اصل اساسی که ساختارهای الاستیک همیشه ، شکلی از مینیمم انرژی ازدیاد طول بدون توجه به تغییر فرم ایجاد شده، در نظرگرفته می شود .نتیجه مینیمم انرژی کرنشی کل نخ در پارچه (شامل خمش ، پیچش ، فشار جانبی و ازدیاد طول -طولی نخ ) بعنوان یک مسئله کنترل بهینه عمل نمود . و شامل قیود ( محدودیتها ) مشخص ه در پارچه می‌باشد.

۲- روشهای آنالیز انرژی

کاملاً مشخص است که شرایط نیرو و تعادل گشتاوری در ساختارهای استاتیکی از نظر ریاضی با شرایط مینیمم انرژی معادل است (۳۷-۳۵) بدلیل اینکه انرژی یک کمیت عددی است بنابراین قسمتهای خاصی از انرژی کل می تواند بصورت عددی اضافه گردد اما نیروها و تنشها باید بصورت برداری جمع شوند .

تریلور و ریدینگ[۳۸] نشان دادند ، آنالیز مکانیک نخ می تواند به سادگی و قوی بوسیله روش انرژی انجام گیرد . هرل و نیوتن [۳۹] نیز نشان دادند که آنالیز انرژی به کار رفته در پارچه های بی بافت ، نتیجه کلی ساده تر از روش نیرو مرتبط با آن را به دست خواهد آورد . همچنین تایبی و بیکر[۴۰] ، از اصول انرژی برای پیدا کردن تاب مورد نیاز نخ چند لا برای تولید کردن نخهای بدون تاب زندگی استفاده کردند . و بالاخره تئوری کاستیگیلیانو[۴۱] بطور گسترده در مسائل مهندسی برای پیدا کردن حل، ساختارهای نامعین بکار رفته است .این تئوری توسط گروسبرگ[۱۳] در پارچه های تاری و پودی استفاده شده است .

این روشهای انرژی بصورت ساده و کلی نمی تواند برای پارچه ها بکار روند بدلیل اینکه همیشه یکسری فرضیات اولیه در مورد هندسه مسئله وجود دارد . تریلور و ریدینگ ، هندسه مارپیچ ثابت را برای نخها فرض نمودند، در نتیجه روش آنها هیچ اطلاعاتی درباره نیروهای عرضی عمل شده در داخل نخ را بدست نمی آورد . هرل و نیوتن فرضیاتی درباره هندسه توده الیاف بی بافت در نظر گرفتند ، که باز هم اطلاعاتی در رابطه با نیروهای داخلی در سیستم بدست نیامد. در تئوری کاستیگیلیانو، فرضیه هندسه ثابت بکار رفت که فقط قانون تنش – کرنش خطی می تواند استنباط گردد[۴۱].بنابراین گروسبرگ[۱۳] فقط مدول ازدیاد طول اولیه برای پارچه تاری و پودی را بیان نموده است .

روش های انرژی بطور گسترده در مسائل مکانیک پیچیده استفاده شده بطوریکه بجای حالت هندسی ، روابط جبری بدست آمده از اصول انرژی جایگزین شده است . اگر مسئله بخوبی و بطور صحیح فرمول سازی شده باشد حداقل اطلاعات بیشتری با استفاده از روش انرژی نسبت به روشهای نیرو می تواند بدست آید . سادگی بیشتر روش انرژی بطور طبیعی آنرا به یک روش جذاب تبدیل نموده و همچنین تعداد فرضیات و تقریبهای غیر ضروری را نیز اغلب حذف نموده است . بطور مثال با استفاده از تئوری کنترل بهینه ، فرضیات قبلی ساخته شده در مورد طبیعت منطقه تقاطع نخ در پارچه حلقوی ساده ، لازم نمی باشد .

دلایل مناسب دیگری ،برای استفاده از روشهای انرژی در مسائل مکانیکی پارچه نیز وجود دارد . اغلب این روش بر اساس روشهای مستقیم در محاسبه متغیرها و تکنیک عددی مشخص را پیشنهاد می‌دهد .

۳- فرمول سازی ریاضی معادلات انرژی

۱-۳- مسئله اصلی

برای ساختار تغییر شکل یافته این فرضیه ، مینیمم انرژی نشاندهنده این است که نیروهای داخلی و خارجی و کوپلها در تعادل مکانیکی هستند .در آنالیز نیرو ، لازم است که یک واحد کوچک ساختاری به قسمتهایی تقسیم بندی شود بطوریکه در انتهای آنها ، نیروها و کوپلها عمل می کنند . طور هر قسمت باید متفاوت باشد بخاطر اینکه نقطه عمل کننده . نیروهای داخلی ثابت نیست .بنابراین در ساختار حلقوی ساده ، باید فرضیاتی ، در مورد نیروهای نقطه‌ای و کوپلهای عمل شده در ساختار و همچنین درباره طبیعت مناطق تماسی بین نخها ، ساخته شود . علاوه بر این ،یک فرمول متفاوت از مسئله برای هر ساختار پارچه و برای هر نوع تغییر شکل با استفاده از آنالیز نیرو، لازم می باشد .

حتی برای سادگی بیشتر ، فشار نخ و فشردگی پارچه (Jamming) در آنالیز نهایی بحساب نمی آیند .

آنالیز انرژی کلی مکانیک پارچه پیشنهاد شده ، از ساختار پارچه مستقل می باشد تعدادی از فرضیات محدود کننده آنالیزهای قبلی نیز حذف شده است همچنین فشرده شدن پارچه در نظر گرفته می شود .

این تئوری ارائه شده ، در حالت کلی و با بیان اهمیت فیزیکی حالتهای معرفی شده از تئوری کنترل بهینه در ساختارهای اساسی مکانیک پارچه شرح داده شده است .

نقطه شروع روش انرژی ، آنالیز ساختار الاستیک شامل مشخص کردن وفرمول سازی هر قسمت از انرژی در ساختار است این انرژی نیاز به تعریف دقیق دارد و می تواند بصورت پارامترهای ذیل ارائه گردد .

۱)‌انرژی پتانسیل کل

۲)‌ انرژی مکمل

۳) انرژی کرنشی

این تقسیم بندی به طبیعت نیروها و کوپلهای مرزی بکار رفته ، بستگی دارد .در روش ارائه شده ، انرژی کرنشی کل ( شامل مجموع خمش ، پیچش – فشار جانبی و انرژیهای کرنشی ازدیاد طول طولی می باشد ) فرمول سازی شده است و این انرژی کرنشی کل ، مینیمم سازی شده است .

شرایط لازم تعادل نیرو و گشتاور با شرایط مناسب انرژی مینیمم ، پایدار خواهد شد بشرط آنکه مسئله به طور صحیح فرمول سازی شده باشد .

۲-۳-فرضیات

با توجه به اینکه انرژی یک کمیت عددی است بنابراین انرژی کل E هر واحد کوچک ، بصورت مجموع انرژی حالتهای هر موج یا حلقه تکرار شونده ، بیان می گردد .

(۱-۹)                                                 

به ترتیب حالتهای انرژی در واحد طول نخ برای خمش ، پیچش ، فشار جانبی و کشش طولی هستند و L_i هم طول i امین حلقه در تکرار و n هم تعداد حلقه های تشکیل شده در واحد کوچک پارچه می باشد .

فرضیات ذیل برای آنالیز کلی در نظر گرفته می شود .

۱)‌الف : نخها در خمش ، دارای الاستیک خطی هستند در نتیجه انرژی خمشی در واحد طول نخ بصورت تعریف می گردد بطوریکه B سختی خمش نخ و K انحنای کلی نخ می باشد .

ب : نخ دارای سختی یکسان ، در تمام جهات خمشی است .

۲) انرژی پیچشی نخ در واحد طول بصورت تعریف می گردد بطوریکه G‌ سختی پیچشی نخ و تاب در واحد طول نخ است .

برای سادگی ، انرژی فشار جانبی نخ در واحد طول در ابتدا بصورت E_C=Cg(r) فرض می شود که ‍C سختی فشاری و r فاصله از یک نقطه روی نخ مرجع با محل دیگر است اگرچه هنوز تعریف نشده است اما نقطه‌ در محل تماس نخ می باشد . تابع اصلی تماس نخ g‌ بصورت نیمه تجربی مشخص می شود . بعداً در آنالیز انرژی فشاری E_c ، بصورت کاملتر تعریف خواهد شد .

در ابتدا، انرژی ذخیره شده حاصل از ازدیاد طول کششی نخ در پارچه چشم پوشی می‌گردد. این فرضیه به استراحت دادن برای یک ساختار پارچه تاری و پودی نیاز خواهد داشت اگرچه برای پارچه های حلقوی با تغییر شکل کم و متوسط بوسیله تغییرات در انحنای نخ و فشار نسبت به ازدیاد طول کششی ، مشخص می گردد . بنابراین در ابتدا بغیر از تغییر شکلهای زیاد پارچه،طول نخ ثابت فرض می شود و بنابراین E_t نیز ناچیز خواهد بود .

۳-۳- آنالیز ریاضی

انرژی کرنشی

منحنی نشان داده شده بوسیله محور نخ در سه جهت خم شده با Z=Z(S) ارائه می‌گردد بطوریکه مختصات سه بعدی هر نقطه روی محور نخ هستند و S پارامتر متغیر طول کمان است انحنای محور نخ با بردار اندازه K نشان داده می‌شود .(‌نسبت به S بدست آمده است )

(۲-۹)                                                                    

انرژی خمشی نخ ( در واحد طول ) در هر نقطه بصورت ذیل خواهد بود.

برای شفافیت در ابتدا یک شکل حلقه بافت حلقوی ساده در واحد کوچک پارچه در نظر گرفته می شود بطوریکه در معادله (۱-۹)n=1 است و یک بافت حلقوی تاری یکطرفه ۱×۱ ریب است .

با توجه به فرضیات ارائه شده و با تقسیم بر B معادله (۱-۹) بصورت ذیل تبدیل خواهد شد .

(۳-۹)                                                 

L مدول یا منحنی الخط طول ترکیبی در محل تقاطع نخ تکی و است این حالت مدول طول نخ در ساختار پارچه ، نشاندهنده حالت کلی باقیمانده روی همه ساختارهای پارچه معرفی شده است . شکل Z=Z(S) قابل محاسبه است بطوریکه تابع انرژی U را با توجه به دو قید ( محدودیت ) ذیل مینیمم کند .

(۴-۹)                                                                             

تعریف پارامتر طول کمان است و

(۵-۹)                                                                            

که یک نقطه روی همسایگی نخ با که در حال حاضر تعریف نشده است این محدودیت در معادله (۴-۹) به این معنی است که به .بستگی دارد و به منظور پیدا کردن سه متغیر که مستقل هستند معادلات زیرتعریف شده اند .

(۶-۹)                             

اگر جهتهای ۳۲۱ مطابق شکل ۹-۹ باشند بنابراین طبق معادله ۶-۹، سیستم مختصات کروی تنظیم شده است بطوریکه Z_۴ زاویه‌ای است که المان طول نخ ( d_z) با محور ۱ می سازد و Z_۵ زاویه‌ای است که تصویر d_z روی صفحه ۳-۲ با محور ۲ می‌سازد.

متغیرهای m_۲,m_۱ نرخهای تغییرات در طول محور نخ را نشان می دهند پارامتر m_۱ چرخش در صفحه‌ای که شامل جزء d_z و محور ۱ است را تعریف می کند . و بنابراین یک بردار نرمال در این صفحه است بطور مشابه m_۲ چرخش در صفحه ۳-۲ و بنابراین یک بردار در جهت ۱ می باشد و m_۲ دو جزء دارد (هر دو در صفحه ۱-d_z) بطوریکه نرمال روی موازی با d_z است جزء آخر نشان دهنده تاب نخ به خاطر خمش در سه جهت می باشد. اگر علاوه بر خمش ، نخ ممکن است در هر نقطه از محور خودش تابیده یا تاب آن باز شود بنابراین زاویه تاب Z_۶تعریف می شود و نرخ تاب هم m_۳ است نرخ تاب m_۳ به تاب هندسی اضافه می‌گردد .

سه وجهی تشکیل شده بوسیله می چرخد و همزمان در طول محور نخ حرکت می کند. این سه وجهی مساوی با تانژانت ، نرمال و دونرمال در منحنی نیست . و همچنین ،« انحناء» همانطور که تعریف شده توسط عمل شده در همان جهت برابر با نرمال ، نیست این اندازه معادل و هم ارز است و میتواند به صورت ذیل محاسبه گردد (‌همچنین از نظر جبری ثابت شده است ).

(۷-۹)                                                 

     (۸-۹)                                                  

بنابراین معادله (۳-۹) بصورت ذیل تغییر می کند .

 

(۹-۹)    

حل با تئوری کنترل بهینه

بردار اندازه m‌ به عنوان بردار کنترل مستقل در نظر گرفته می شود [۴۳].

که مقدار آن باید درهر نقطه از طول حلقه بدست آید برای اینکهU مینیمم شود با قرار دادن قیود در معادله ۶-۹ بطوریکه برای مینیمم

در هر مکانی در طول حلقه خواهد بود این مسئله میتواند با معادل و با استفاده از تئوری کنترل بهینه ، برگردان شود [۴۹-۴۴-۴۲].

اگر بصورت معمول حرکت کنیم [۴۳]،ضرایب لاگرانژ معرفی می شوند . و برای هر جزء معادلات (۶-۹) و همیلتن H(‌که واحد های انرژی BL را دارد ) بصورت زیر تعریف شده است .

(۱۱-۹)                                                        

(۱۲-۹)                  

بطوریکه E در معادله (۱-۹) تعریف شده است .

مینیمم کردن تابع انرژی جدید U_a بدون قید ( محدودیت ) از نظر ریاضی معادل مینیمم کردن U با قیود در معادله ۶-۹ است بطوریکه :

(۱۳-۹)                                     

یک مجموعه از شرایط ضروری برای مینیمم کردن معادله (۱۳-۹) بوسیله معادلات متعارف ( معیار ) همیلتن ارائه می گردد.

(۱۴-۹)                                                                  

(۱۵-۹)                                                                  

معادله های (۱۴-۹) بیان مجدد معادلات ( ۶-۹) هستند و اثر قیود بین متغیرها هستند .معادله های (۱۵-۹) بعنوان معادلات کمکی شناخته شده واز معادله (۱۲-۹) محاسبه می شوند .

(۱۶-۹)

بطوریکه مشتق گیری با توجه به r و با توجه به طول قوس S مشخص می گردد.

تنظیم شرایط لازم برای مینیمم مشابه معادله (۱۰-۹) است

(۱۷-۹)                                     

این شرایط روابط ذیل را بدست می آورد .

(۱۸-۹)                                     

برای نشان دادن اینکه این معادلات مینیمم را نسبت به ماکزیمم نشان می دهد با مشتق گیری ازمعادله (۱۷-۹) و نشان دادن اینکه [۴۸]

(۱۹-۹)                                                                  

برای همه نقاط روی منحنی Z برقرار است بدلیل اینکه H ، S را بطور واضح شامل نمی شود ثابت می‌شود که مقدار ثابت H= در طول حلقه است [۴۹]).

از نتیجه گیری معادله های (۱۶-۹)، کاربرد ساخته شده است .

این قطعاً در حالت درست است .اگر روی همسایگی نخ با شکل مختلف قرار داشته باشد بنابراین مستقل هستند اگر از Z بوسیله انتقال ، چرخش یا انعکاس ( ترکیب اینها ) نتیجه گیری شود و بردار فاصله از نقطه S‌روی منحنی Z با در هر دلخواه تلاقی کند بنابراین درباره مستقل از Z(S) و خواهد شد .

تفسیر فیزیکی

اگر Cg(r)انرژی فشاری نخ در واحد طول را نشان دهد بنابراین نیروهای عمل کننده در واحد طول و در طول نخ Z در جهتهای ۳۲۱ بدلیل نخ هستند بدلیل اعماا قیود در معادله دیفرانسیل در معادله های ۶-۹ معرفی شده ،دارای اهمیت فیزیکی واقعی است .این منفی (i=1,2,3) نیروهای (‌تقسیم بر B) در واحد طول در طول نخ که توسط Z شرح داده شده هستند با انتگرال گیری و با توجه به S، ، نیروهای محوری و برشی (‌تقسیم بر سختی خمشی B) را شرح می دهد .

از شکل ۹-۹ و معادلات( ۱۶-۹)، گشتاور خمشی افزایشی در نخ Z( همیشه در جهت ۱ عمل می کند )‌بخاطر نیروهای برشی است سه عبارتهای آخری معادله نشان می دهد که قسمت گشتاور خمشی افزایشی در جهت m_۱ بدلیل نیروهای برشی است .

اولین عبارت در این معادله میزانی که در جهت m_۱ بدلیل نرخ تغییر در جهت گشتاور خمشی افزایشی را نشان می دهد و همزمان که اطراف نخ در همان جهت مشابه m_۱ می چرخد [۴۸] در ادامه معادله های (۱۸-۹) بعنوان شرط تعادل گشتاور می باشد منفی ، کوپلهاو گشتاورهای خمشی ( تقسیم بر B) عمل کننده روی نخ Z را نشان می دهد .

در منحنی هم سطح ، بطوریکه ، اگر m_۲=۰ در همه جا ، اولین معادله های (۱۸-۹) بیان می کند که انحناء متناسب با گشتاور خمشی است سومین معادله های (۱۸-۹) نشان می دهد که کوپل تاب متناسب با تاب مغزی (‌داخلی ) است ارتباط بین کوپلهای در منحنی های غیر هم سطح پیچیده تر است اگر هر دو ثابت باشند دو معادله آخری (۱۸-۹) معادل با آن نتایج به دست آمده توسط لاو [۴۱] هستند . هیچ مقایسه‌ای درابتدای معادلات، بدست نمی آید و تنها حالت تعادل گشتاور را نشان می دهد .

با جایگذاری معادله های (۱۸-۹) در معادله (۱۲-۹) ، همیلتن H می تواند بصورت ذیل نوشته شود .

(۲۰-۹)

بطور متناوب نیروهای قیود یا نیروهای برشی نخ باعث کار و حرکت در فاصله و ;. می شود ودر فشار نخ :

(۲۱-۹)        

این کار به انرژی کرنشی پیچشی و خمی T‌سیستم ( در واحد طول ) تبدیل می گردد بطوریکه:

(۲۲-۹)                                     

نتیچتاً ، H‌در معادله (۲۰-۹) می تواند به عنوان انرژی کل (منفی ) (‌در واحد طول ) سیستم در نظر گرفته شود .

(۲۳-۹)                                                                            H=-(V+T)

بطوریکه V بیان کننده و تفسیر کننده انرژی پتانسیل نیروهای قیود است و T بعنوان انرژی کرنشی نخ است .

در مورد نخ بدون فشار ، بدون تاب و مستقیم با نقطه اولیه S=0 قرار داشته باشد .

انرژی کل ( منفی) است

(۲۴-۹)        

اگر نیروهای اعمال شده باشد انتگرال صفر خواهد شد . علاوه بر این ، می‌توان نشان داد که H در طول حلقه ثابت است (۴۹و ۴۴-۴۲) H در حقیقت کلیات انتگرال انرژی توسط لاو است (۴۱) .

یک مقایسه بیشتر بین فرمول کنترل بهینه حاضر [۴۹و ۴۲] می‌تواند فرمول استفاده شده در مکانیک کلاسیک را نتیجه گیری کند . [۵۱و۵۲]

از معادلات کمکی (۱۶-۹) مقدار ثابت = ، بطوریکه کوپل تاب در سراسر نخ ثابت است اگر آن بعنوان یک شرایط مرزی ( بدون کوپل تاب در S=0) باشد بنابراین آخرین معادله های (۱۸-۹) نتیجه خواهد داد که :

(۲۵-۹)                                                                           

با جایگذاری، در معادله (۸-۹) نشان می دهد که مطابق فرضیه جاری که نیروها از محور نخ می گذرند پس هیچ پیچش نخ وجود نخواهد داشت . حتی در صورتیکه در نخ از بازشدن تاب به وسیله چند کوپل در انتها جلوگیری شود کلیات معادله(۲۵-۹) از بین نخواهد رفت .

معادله های (۶-۹) و(۱۶-۹) یک سیستم از ۱۲ معادله دیفرانسیل مرتبه اول با ۱۲ مجهول بصورتیکه و بطوریکه سه مجهول آخری با ، به ترتیب در معادلات (۱۸-۹) مرتبط شده اند . این معادلات قابل مقایسه با معادله دیفرانسیل مرتبه چهارم سه بعدی استفاده شده در تئوری ‌تیرساده (beam) هستند اما با دو اختلاف مهم ، بصورتیکه حضور قید ساخته شده درمعادله (۴-۹) و درحقیقت نیروها مستقل از شکل نیستند .

اگر شکل حلقه ها شناخته شده باشند دیفرانسیل قابل قبول از نیروهای توزیع شده بدست خواهد آمد و برعکس یعنی انتگرال نیروها در واحد طول ، شکل حلقه ‌را مشخص خواهند نمود .

در این حالت ، اگرچه شکل و نیروها شناخته شده نیستند اما شکل (‌همانطور که در معادله ۶-۹ بیان شده اند ) همیشه روی نیروها ( همانطور که توسط معادله های کمکی ۱۶-۹ ارائه شده ) عکس العمل داشته و یک ساختار انرژی مینیمم ( با شرط گشتاور معادلات ۱۸-۹) را ارائه می دهد .

یک اختلاف دیگر بین معادلات (۶-۹)و(۱۶-۹)و.(۱۸-۹) و تئوری معمول تیر ساده این حقیقت را آشکار خواهد نمود که بعلت عبارتهای بکار رفته ،سینوسی و کسینوسی معادلات ارائه شده بطور قوی غیر خطی هستند .

۴-۳- الگوریتم محاسباتی

از الگوریتم (‌مجموعه دستورالعملها ) زیر برای حل معادلات (۶-۹)و(۱۶-۹)و(۱۸-۹) روی کامپیوتر دیجیتال استفاده شده است.

۱) مقدار m حدس زده شده و بعد از مرحله (۲) ، شکل حلقه با مشخصات تقاطع صحیح بدست می آید .

۲) از انتگرال معادله (۶-۹) شکل حلقه به دست می آید

۳) شکلهای اطراف نخها ( شامل همه انواع فشردگی یا تماس احتمالی ) هم از حالتهای تقارن یا از مراحل ۱و۲ با نخهای متفاوت تشکیل شده ، بدست می آیند.

۴) محاسبه فاصله های r بین نخهای تماسی

۵) نیروهای در واحد طول بعلت تماسهای نخ برای k‌ این حلقه در فاصله r‌را محاسبه کنید (‌که بطور اتوماتیک شامل همه انواع فشردگی است )

۶) از معادلات کمکی (۱۶-۹) انتگرال بگیرید

۷) بررسی کنید آیا گرادیانهای انرژی j=1,2,3 در محلهای بکار رفته ، تعادل گشتاور و مینیمم انرژی حاصل گردیده است بنابراین محاسبات متوقف می شود و اگر این شرایط رضایت بخش نبود m‌جدید را مطابق ذیل بدست آورید .

که اندازه مرحله است و از مرحله دوم شروع می شود (۵۲)

یک روش دیگر برای محاسبه حل بهینه برای کنترل متغیرها با توجه به معادلات تعادل گشتاور بعنوان مجموعه از باقیمانده ها ( با قیمانده ها روی شرایط مرزی ) است .

الگوریتم های سریع و کارآمد در بیشتر کتابخانه های محاسباتی برای بررسی سیستماتیک برای اپتیمم m‌در بین باقیمانده ها نیز وجود دارد .

فشار نخ یا تابع پتانسیل تماسی

با توجه به اینکه معادلات تعادل گشتاور (‌معادلات ۱۸-۹) کاملاً بطور طبیعی ازمعیار انرژی مینمم بدست آمده ، اما شرط مورد انتظار تعادل نیرو هنوز پایدار نشده است .بدلیل اینکه نیروهای داخلی نخ از تابع عددی g‌ نتیجه شده و انتظار می رود که تعادل نیرو فقط برای g انتخاب شده مناسب ، قابل محاسبه می باشد .

بطور ضمنی قبلاً فرض شده بود که تابع فشاری عددی را برای بعضی تعریف نشده ، و بنابراین نیروهای داخلی نخ می تواند محاسبه گردد . بدلیل اینکه g فقط به r وابسته است نیروها از g اصلی که باید همیشه در طول بردار اندازه r( نشانداده شده در معادلات (۱۶-۹) ) باشد، نتیجه گیری می شود . در نتیجه ، به منظور مطمئن شدن تعادل نیرو بین نخها در تماس ، تعریف r لازم است. روش بدست آوردن r نخ Z ، از نخ می باشد اما بردار مخالف اندازه r یعنی از منحنی به Z بدست می آید .

بنابراین r باید تعریف شود بشرط آنکه برای هر دو و Z نرمال باشد اما در این حالت هیچ تماس دائمی بین نخها وجود ندارد بجز وقتی که نخها و Z شکلهای خاصی داشته باشند .

به منظور ایجاد ، منطقه پیوسته تماسی ، بجای (g(r یک تابع اصلی عددی G* فرض می گردد:

(۲۷-۹)                                               

بطوریکه انتگرال روی نخ انجام شده است از معادلات کمکی (۱۶-۹) ، می توان بدست آورد که نیروهای توزیع شده روی نخ Z هستند .

برای

نیروی کل روی حلقه Z برابر است با:

(۲۸-۹)                                                       

اما

(۲۹-۹)                                                  

و بنابراین داریم :

(۳۰-۹)                                                                                       

بطوریکه نیروی کل اعمال شده برروی نخ است نتیجتاً این نیروی کل اعمال شده روی نخ Z، مساوی و مخالف نیروی نشان داده شده است .

به صورت شماتیک ، این نتایج در شکل (۱۰-۹) نشان داده شده است نیروی توزیع شده روی المان dz از نخ Z مجموع بردار همه نیروها بدلیل همه اجزاء است.

می توان نشان داد که G* اصلی فقط وابسته به بردار اندازه فاصله r است .

اگر G* یک تابع بردار کنترل m باشد بنابراین معادلات تعادل( از معادلات(۱۸-۹) )حالتهای را شامل می شود بطوریکه گشتاورها در تعادل، بزرگتر نخواهند شد . اگر G* یک تابع از Z_۵ , Z_۴ باشد بنابراین (‌معادله های (۱۶-۹)) حالتهای به ترتیب شامل می شوند . این نشان می دهد که نخ Z در نقاطی که گشتاور خمشی افزایش می یابد بعلت اثر همه بردارهای نیروی اصلی از اجزاء d نخ که از Z(s) عبور می کند می باشد و نیروهای هم رأس گشتاوری را پوشش نمی دهند.

بطوریکه مجدداً نمی تواند یک تابع Z_{۴ و} Z_۵ باشد به طور مشابه G* نیز تابع نیست .

همانطور که قبلاً‌بحث گردید ( فصل ۶) شکل کلی تابع فشاری به صورت

(۳۱-۹)                                                                           

است که a ضریب فشاری (۵<a<30) است . و فاصله ارائه شده بین نخها است .

این تابع به اندازه کافی می تواند مشخصات فشاری هر دو نخهای Staple و فیلامنتی را توضیح دهد .

۶-۳- آنالیز ابعادی

انرژی کرنشی کل نخ ، تقسیم بر B‌ و مینیمم شده ، بصورت زیر است .