مقاله اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

  مقاله اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی دارای ۱۴۵ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی :

مقدمه
یکی از عمده ‌ترین مسائلی که انسان از زمان ساختن ساده‌ترین ابزارها با آن مواجه بوده است پدیده شکست در اجسام می‌باشد و درواقع برای استفاده از مواد به صورت ابزارهای گوناگون باید مقاومت آنها را نیز می‌دانست. بنابراین به جرأت می‌توان گفت که علم مقاومت مصالح عمری برابر عمر تاریخ دارد. البته روند شناخت و برآورد مقاومت اجسام از روشهای تجربی و ابتدایی شروع شده و به روشهای کاملاً علمی قرن حاضر رسیده است.

علم مقاومت مصالح دارای شاخه‌های گوناگونی می باشد که رشد قابل توجهی داشته اند. یکی از شاخه های این علم با کاربرد زیاد و تحلیل علمی نسبتاً مشکل، مکانیک شکست می‌باشد. به توجه به لزوم بکارگیری مواد جدید و گوناگون در گستره وسیع تکنولوژی معیارهای نوینی در روش های طراحی را الزامی نموده است. در این میان علم مکانیک شکست مورد توجه خاصی قرار گرفته است.
مکانیک شکست به عنوان نظم مهندسی در دهه ۱۹۵۰ و توسط آقای Georg Rirwin در لابراتور تحقیقاتی ناوال (NRL) معرفی شد. درسالهای بعد در دهه ۱۹۶۰ مفاهیم مکانیک شکست طی تحقیقات مختلف در دانشگاهها و مراکز تحقیقاتی گسترش داده شدند. اصول مکانیک شکست کاربردهای مختلفی در طراحی مهندسی شامل آنالیز شکست سازهای تردد و پیش بینی گسترش ترک خستگی ، دارند. با توجه به اینکه ۸۰ درصد شکست‌های ترد ریشه در گسترش ترک خستگی دارند استفاده از مکانیک شکست می‌تواند بسیارمفید باشد.
در این سیمنار سعی شده است اصول مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی به اختصار توضیح داده شود.

تاریخچه‌ای از مکانیک شکست
با پیشرفت تکنولوژی در عصر حاضر، پدیده شکست در اجسام از اهمیت بیشتری نسبت به گذشته برخوردار شد متلاشی شدن بسیاری از هواپیماها و فضاپیماها در طی دهه ای گذشته لزوم درک دقیق تری از مکانیک شکست در اجسام را در علوم جدید ایجاب می کند در واقع گسیختگی ناگهانی بسیاری از تجهیزات در سازه های صنعتی نه تنها عواق جانی ناگواری در پی دارد بلکه ضررهای چشمگیر اقتصادی را نیز مسبب می شود.

در طی سالهای پس از جنگ جهانی دوم پیشرفت های زیادی در مکانیک شکست حاصل شد ولی تا دانسته‌های زیادی همچنان باقی است و زمینه برای تحقیقات بیشتر فراهم می‌باشد.
تحقیقات اخیر نشان داده است که قیمت ضررهای ناشی از شکست ‌های ناگهانی در ایالات

متحده آمریکا در سال ۱۹۷۸ بالغ بر ۱۱۹ میلیارد دلار گردیده که در حدود ۴% تولید ناخالص ملی این کشور را تشکیل می‌دهد. این مطالعات پیش بینی نموده است که اگر تکنولوژی پیشرفته زمان حاضر در این صنایع استفاده می شد می توانست حدود ۳۵ میلیارد دلار و در صورت بهره گیری از نتایج و تحقیقات بیشتر در این زمینه، حدود ۲۸ میلیارد دلار دیگر صرفه جویی اقتصادی را در پی داشت.توجه مکانیک شکست به جلوگیری از شکست ترد می باشد و به عنوان اصطلاح علمی کمتر از ۴۰ سال سابقه دارد هر چند که توجه به شکست ترد جدید نیست. باستانیان به این مساله

توجه داشتند و برای جلوگیری از شکست سازه ها را به گونه ای طراحی می کردند که همواره در فشار باشند. بسیاری از سازه های مصریان، رومیان و ایرانیان باستان همچنان پابرجا هستند و از نظر علمی مهندسی جدید تحسین برانگیز می‌باشند. طراحی پل رومیان حالت قوسی داشته و باعث ایجاد تنش های فشاری در سازه‌ می‌شدند. شکل قوسی در اغلب سازه‌های قدیمی ایرانی از قبیل سقف های گندبی نیز فراوان دیده می شود. با توجه به اینکه دانش مکانیک آن زمان محدود بود ساخت بناها با طراحی موفق مستلزم سعی و خطاهای بسیاری بوده است.

انقلاب صنعتی دگرگونی عظیمی در مواد به کار رفته در سازه ها بوجود آورد و آن استفاده از آهن و فولاد بود استفاده از فولاد در سازه های صنعتی این امکان را بوجود آورد که بتوان از قابلیت کششی مواد نیز استفاده کرد. با وجود این تغییر در مصالح گاهی منجر به شکست‌های پیش بینی نشده می‌گردید. یکی از معروف ترین حوادث از نوع فوق گسیختگی مخزنی در کارخانه قند بوستون بود که منجر به هدر رفتن دو میلیون گالن شیره قند، مرگ ۱۲ نفر و مجروح شدن ۴۰ نفر و ضایعات بسیار گردید که علت آن همچنان مبهم مانده است.

تحقیقات اولیه در مکانیک شکست
یکی از اولین تلاشها برای مطالعه مقاومت مصالح به صورت سیستماتیک توسط لئونارد داوینچی اعلام شده و بر روی مقاومت تیرها و سیم ها تحقیق کرد. او متوجه شد که مقاومت سیم ها با طول آنها نسبت عکس دارد.

گالیله در سال ۱۶۳۸ تحقیقاتی در زمینه مقاومت کششی انجام داد که آن را «مقاومت مطلق در برابر شکست» نامید و با انجام آزمایش بر روی مقاومت یک مبله نشان داد که مقاومت میله با سطح مقطع آن متناسب است و مستقل از طول می‌باشد.
تحقیقات اصلی در قرن ۱۹ و با تغییر مصالح از چوب و آجر و سنگ به فولاد انجام شد. نخستین بار تأثیر گسترش ترک و نقش آن در گسیختگی خستگی توسط رانکلین (۱۸۴۳) و در رابطه با شکست محورهای راه آهن بحث شد.

تأثیر ترک در مقاومت شکست در اواخر قرن ۱۹ مورد توجه قرار گرفت ولی طبیعت دقیق تأُثیر آن مشخص نشد. در سال ۱۹۱۳ اینگلیس روش تحلیل تنش در اطراف یک سوراخ بیضی شکل در صفحه ارائه نمود. گریفیث هفت سال بعد (۱۹۲۰) با استفاده از این روش تحلیل برای حل انتشار یک ترک ناپایدار به کار گرفت. وی با استفاده از قانون اول ترمودینامیک توانست تئوری شکست را براساس یک تعادل ساده انرژی پایه گذاری کند.

بر طبق این تئوری، شرط ناپایداری در رشد ترک و شکست در یک جسم آنست که تغییر در انرژی کرنش حاصل از رشد ترک برای غلبه بر انرژی سطحی مواد کافی باشد. برای توضیح بیشتر به فصل بعد مراجعه شود) مدل کریفیث بدرستی رابطه بین مقاومت و ابعاد ترک در شیشه را پیش بینی می‌کرد. تلاش بعدی جهت تعمیم مدل گریفیث برای فلزات تا قبل از ۱۹۴۸ ناموفق بود زیرا این مدل فرض می کند که کار لازم برای شکست منحصراً ناشی از انرژی سطحی مواد است که در واقع این فرض تنها برای موارد کاملاً ترد صادق است.

تجربه کشتی‌های لیبرتی (Liberty)
در روزهای اول جنگ جهانی دوم ایالات متحده آمریکا در چهارچوب قرار دارد لنر لیز مبادرت به ارسال کشتی و هواپیما به بریتانیا نمود. این کشتی‌ها توسط مهندس معروف امریکای هنری کیزر ساخته شد. کشتی‌های لیبرتی برای حمل بار طراحی شده بودند، ۴۴۱ فوت طول و ظرفیت حمل بار معادل ۹۰۰۰ تن را داشتند. تا قبل از این تاریخ کشتی‌ها با کمک پرچ کردن ساخته می شدند اما بدلیل نیاز شدید زمان جنگ از جوشکاری استفاده شد که آن زمان روش جدیدی محسوب می

شد. این عمل باعث کاهش چشمگیری در زمان ساخت کششتی‌ها شد. در طول چهار سال ۱۹۴۰ تا ۱۹۴۴ ، ۲۷۰۸ عدد از این کشتی ها ساخته شد. ولی در سال ۱۹۴۳ هنگامی که یکی از کشتی ها بین سیبری در آلاسکا در حرکت بود به دو نیم تقسیم شد. شکستهای بعدی در بسیاری از بدنه های دیگر کشتی‌ها در فاصله زمانی کوتاهی اتفاق افتاد به طوریکه از ۲۷۰۰ کشتی، ۴۰۰ کشتی دچار شکست در بدنه شدند. این حوادث به خصوص در دریاهای سرد و خشن اتفاق افتاد. تحقیقات بعدی با توجه به اصول مکانیک شکست نشان داد که علل اساسی

شکست ناشی از عوامل زیر بود:
– جوشکاری توسط افراد نیمه ماهر انجام شده بود و ترک‌های ریز در قسمتهای جوش شده باقی مانده بود.
– اکثر شکست‌ها از نواحی اتصالات گوشه‌ای که دارای تمرکز تنش‌ زیادی بودند شروع شده بود.
– فولاد به کار رفته برای ساخت کشتی‌های لیبرتی از چقرمگی کمی برخوردار بوده است.
چنانچه در ساختن این کشتی ها با حفظ همان نوع فولاد از اتصالات پرچ شده استفاده می‌شد، عملاً امکان گسترش ترک از بین می رفت. اتصالات جوش شده درواقع پیکره واحدی را تشکیل می دهد و ترکی که از ناحیه خاصی شروع می شود و در شرایط احراز بحرانی بدون توقف بسرعت

گسترش می یابد. در برخی از کشتی‌ها گسترش ترک باعث دو نیم شدن کشتی در جهت عرضی شد. پس از وقوع حوادث فوق، در کشتی‌های بعدی از قطعات تقویتی استفاده شد که به نواحی دارای تمرکز تنش پرچ می‌شدند و نقش متوقف کننده ترک را ایفا می‌کردند.
تجربه هواپیماهای کمت

این هواپیماها ابتدا در سال ۱۹۵۲ ساخته شدند و اولین هواپیماهای مسافری با دو موتور جت بودند که قادر به پرواز ۴۰۰۰۰ فوت بودند. بعد از گذشت یک سال از بهره برداری سه هواپیما دچار حادثه شدند که خسارات جانی و مالی بسیاری به همراه داشتند. پس از بررسی‌های انجام شده بر روی بخش های بدنه یکی از هواپیماها دلیل ایجاد حادثه یک ترک خستگی کوچک که از یک پنجره بیش از حد داغ شده آغاز شده بود، عنوان شد. این ترک کوچک باعث از هم پاشیدن بدنه هواپیما شده بود.
تحقیقات در مکانیک در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی

تجربه کشتی‌های لیبرتی و هواپیماهای کمت باعث شد تا گروهی از محققان در آزمایشگاه تحقیقاتی دریایی در واشنگتن دی – سی امریکا مطالعات جدی را برای بهبود دانش مکانیک شکست در اجسام سازماندهی کنند. سرپرستی این گروه را دکتر ایروین بعهده داشت. پس از مطالعات اولیه اینگلیس و گریفیث، ایروین معتقد بود که ابزار اساسی برای تحلیل شکست در

اجسام فراهم شده است. مهمترین نقش ایروین در این رابطه ، تعمیم تئوری گریفیث برای فلزات بود. وی خاطر نشان ساخت که برای رشد ترک، علاوه بر انرژی سطحی بایستی انرژی لازم برای غلبه بر جریان پلاستیک در اطراف ترک نیز فراهم شود. او روان و موت نیز مستقلاً تئوری مشابهی را ارائه نمودند. در سال ۱۹۵۶ ایروین مفهوم نرخ رهایی انرژی را عنوان نمود که تعمیم تئوری گریفیث بود ولی به صورت کاربردی برای حل مسائل مهندسی استفاده می شد. در این میان نظر ایروین و همکاران توسط وسترکارد در سال ۱۹۳۹ منتشر شده بود که در آن روشی برای تحلیل تنش و تغیر مکان در نوک یک ترک ارائه گردیده بود. ایروین با استفاده از این روش نشان داد که تنش و تغییر

درنوک یک ترک را می توان باعامل ثابتی ارتباط داد که رابطه مستقیم با نرخ رهایی انرژی دارد. این عامل بعداً به ضریب شدت تنش شناخته شد. در همین سالها ویلیامز روش دیگری را برای تحلیل تنش و تغییر مکان در نوک ترک ارائه نمود که اساساً با روش ایروین یکسان بود.

پس از جنگ جهانی دوم ، نقطه عطف دستاوردهای تحقیقاتی در زمینه مکانیک شکست حوالی سالهای ۱۹۶۰ می باشد که بنیادهای مکانیک شکست الاستیک خطی بخوبی شناخته شده بود. پس از غالب تحقیقات معطوف به بررسی پلاستیسیته نوک ترک بود. هنگامی که تغییر شکل پلاستیک قابل توجهی در جسم بوجود آید فرضیات مکانیک شکست الاستیسیته خطی (LEFM) معتبر نخواهد بود. در فاصله کوتاهی طی سالهای ۶۱-۱۹۶۰، محققان متعددی در صدد ترمیم روشهای تحلیل پلاستیک تنش در اطراف نوک ترک شدند. ایروین با استفاده از LEFM مدل « تصحیح منطقه پلاستیک» را ارائه نمود و داگدیل و باربنلات هر یک مبادرت به توسعه مدل‌های واقعی تری براساس نوار باریکی از ماده تسلیم شده در نوک ترک نمودند. ولز معیار شکست دیگری بر مبنای تغییر مکان در نوک ترک (CTOD) در ماده ای با تغییر شکل پلاستیک زیاد در هنگام شکست را

پیشنهاد داد. در سال ۱۹۶۸ رایس با فرض رفتار الاستیک غیرخطی برای ماده ای با تغییر شکل پلاستیک موفق شد مفهوم نرخ رهایی انرژی را برای مواد با رفتار غیرخطی تعمیم دهد. او نشان داد که نرخ رهایی انرژی غیرخطی را می‌توان بر مبنای انتگرال خطی J در یک مسیر اختیاری در اطراف ترک محاسبه نمود در همان سال‌ها هاتچینسن ، رایس و رزنگرن موفق شدند انتگرال J را به میدان تنش در نوک ترک برای یک ماده با رفتار غیرخطی ارتباط دهند. تحلیل های فوق خاطر نشان ساخت که J می تواند بعنوان یک عامل شدت تنش غیرخطی و همچنین بعنوان نرخ رهایی انرژی در نظر گرفته شود.

در سال ۱۹۷۶، شیه و هاتچینسن موفق به ارائه چهارچوب تئوریک برای کاربرد مفهوم مکانیک شکست در طراحی شدند که بر مبنای آن رابطه ریاضی بین چقرمگی، تنش و ابعاد ترک بر مبنای J مشخص می‌شد. شیه همچنین با برقراری بین J و تغییر مکان نوک ترک CTOD نشان داد که هر یک از دو مشخصه فوق می تواند معیاری را برای شکست اجسام در نظر گرفته شوند. توسعه مکانیک شکست اجسام در سالهای ۱۹۸۰ به بعد بیشتر متوجه رفتار شکست مدار غیرخطی و وابسته به زمان نظیر ویسکوالاستیک وویسکوپلاستیسیته گردید

.
۳-۱- طراحی با روش مکانیک شکست
شکل ۲-۱ نموداری از دو روش طراحی سنتی و روش مکانیک شکست را نشان می‌دهد. در روش طراحی سنتی سازه‌ها و ماشین های صنعتی، محاسبات تنش در اجزاء براساس مقاومت حد جاری و یا نهایی اجسام در کشش یا فشار انجام می‌گیرد. کاربرد این روش برای مواد شکننده یا اعمال ضریب اطمینانی مناسب و در نظر گرفتن کمترین تغییر شکل مجاز میسر می‌باشد. در روش طراحی با استفاده از مکانیک شکست، سه عامل تنش اعمال شده ، ابعاد ترک ( هر چند کوچک) و چقرمگی از معیارهای طراحی بشمار می‌آیند.

در تحلیل شکست از دو روش می توان استفاده کرده معیار انرژی و یا روش ارزیابی شدت تنش.
۱-۳-۱- معیار انرژی :
مطابق روش انرژی، گسترش ترک (شکست) هنگامی اتفاق می افتد که انرژی لازم برای رشد ترک وغلبه بر مقاومت ماده فراهم شده باشد. مقاومت ماده ممکن است شامل انرژی سطحی، کار پلاستیک و یا سایر تلفات انرژی در هنگام رشد ترک باشد.
گریفیث نخستین کسی بود که معیار انرژی را برای شکست اجسام شکننده مانند شیشه به کار برد. درحالیکه پایه گذار مفهوم انرژی شکست که در حال حاضر در مکانیک شکست بکار می رود را می توان ایروین [۶] دانست. نرخ رهایی انرژی، G، عبارتست از نرخ تغییر در انرژی پتانسیل نسبت به سطح ترک برای یک ماده با رفتار الاستیک خطی است. هنگامی که انی انرژی معادل نرخ رهایی انرژی بحرانی. ، درجسم می‌شود، شکست اتفاق می افتد که انرژی فوق شاخصی برای چقرمگی مواد است.

برای ترکی بطول a2 در یک ورق با ابعاد بی نهایت که تحت تنش کششی قرار دارد (شکل ۳-۱) نرخ رهایی انرژی بر واحد سطح عبارتست از :
(۱-۱)
که در آن E مدول الاستیسیته، تنش اعمال شده در فاصله‌های دوراز ترک و a نصف طول ترک است. هنگامی که نرخ انرژی رها شده به حالت بحرانی (شکست) می‌رسد، ، معادله (۱-۱) بیان کننده ترکیب تنش و طول ترک بحرانی را مشخص می‌کند. باین ترتیب نتیجه می‌شود:
(۲-۱)توجه گردد که برای مقدار ثابت ، نقش بحرانی باعکس ریشه طول ترک، تغییر می کند.
نرخ رهایی انرژی ، G ، عامل محرک برای شکست را فراهم می کند و در صورتی که عبارت از

مقاومت ماده در مقابل شکست است. برای این که مفهوم ذکر شده با تحلیل تنش در روش «مقاومت مصالح» مقایسه شود (شکل ۲-۱) ، تنش اعمال شده بر یک جسم، عامل محرک برای تغییر طول پلاستیک بوده در حالیکه تنش تسلیم، مقاومت ماده در مقابل جاری شدن است.
یکی از مفاهیم اساسی در مکانیک شکست این است که چقرمگی شکست مستقل از اندازه و ابعاد هندسی جسم دارای ترک می باشد. بنابراین می توان مقاومت ماده در مقابل شکست را مانند تنش تسلیم با انجام آزمایش بدست آورد.

۲-۳-۱- روش ضریب شدت تنش
شکل ۴-۱ وضعیت تنش های صفحه ای در المانی واقع در نزدیکی نوک ترک از یک ماده الاستیک را نشان می دهد که در آن اجزا تنش هر یک متناسب با مقدار ثابت می باشد. اگر این مقدار ثابت معلوم گردد وضعیت کلی تنش در نوک ترک را می‌توان از معادلات شکل (۴-۱) بدست آورد. این عامل که «ضریب شدت تنش» نامیده می شود بطور کامل وضعیت تنش را در یک ماده الاستیک مشخص می کند (‌مفهوم اندیس I در در فصل دوم روشن خواهد شد).

در حال بحرانی وضعیت تنش و کرنش در نوک ترک که منجر به شکست جسم می‌شود، ضریب شدت تنش به حالت بحرانی می‌رسد. بنابراین نیز عامل دیگری برای اندازه گیری چقرمگی شکست در اجسام می باشد. برای ورق نشانداره شده درشکل (۳-۱)، ضریب شدت تنش صورت زیر می باشد:
(۳-۱)

هنگامی که می‌شود، شکست اتفاق می افتد. در این حالت، عامل محرک برای شکست و مقاومت ماده در مقابل شکست است. همچنین فرض بر آنست که یک خاصیت ماده مستقل از ابعاد هندسی جسم است. با مقایسه معادلات (۱-۱) و(۳-۱) رابطه عامل محرک برای شکست و مقاومت ماده در مقابل شکست است. همچنین فرض بر آنست که یک خاصیت ماده مستقل از ابعاد هندسی جسم است. با مقایسه معادلات (۱-۱) و (۳-۱)‌ رابطه و G بصورت زیر می‌گردد:
(۴-۱)

رابطه مشابهی نیز برای و برقرار می باشد. بنابراین روش های انرژی و شدت تنش در مکانیک شکست برای مواد الاستیک خطی اساساً یکسان هستند.
۳-۳-۱- تلرانس خرابی
در اجزاء ماشین و یا سازها معمولاً ترکهای ریزی در هنگام ساخت و یا حمل و نقل بوجود می‌آید که عملا اجتناب ناپذیر بوده و یا ترمیم آنها مستلزم صرف هزینه‌ای سنگین می‌باشد. در مکانیک شکست، مبنایی برای محدودیت رشد این ترکها تعریف می گردد که تلرانس خرابی نام دارد. فرض کنید ترکی در یک سازه در اثر خستگی و یا خوردگی با گذشت زمان در حال رشد باشد (شکل ۵-۱). اگر چقرمگی شکست ماده معلوم باشد، روابط موجود در مکانیک شکست می‌توان در طول ترک بحرانی برای گسیختگی سازه را پیش بینی نماید. معمولا طول مجاز ترک با تقسیم طول بحرانی ترک بر ضریب اطمینان مناسبی تعریف می شود.
به این ترتیب سازه و یا اجزاء ماشین مجاز به ادامه کار خواهد بود، تا این که ابعاد ترک به اندازه بحرانی برسد. مثالهایی از رشد ترک وابسته به زمان را می‌توان دربارهای ناشی از خستگی، تأثیرات محیط، خزش و رشد ترک ویسکوالاستیک مشاهده کرد.
۱-۲- مقدمه:
مفاهیم مکانیک شکست که قبل از سال ۱۹۶۰ بدست آمده بود فقط برای موادی که قانون هوک پیروی می کنند صادق بود. گر چه برخی تصحیحات در روابط مکانیک شکست برای پلاستیسیته در مقیاس کوچک انجام پذیرفته بود ولی تحلیلهای فوق صرفاً برای سازه‌هایی با رفتار الاستیک خطی معتبر بود. از سال ۱۹۶۰ تئوریهای مکانیک شکست برای رفتارهای مختلف غیرخطی مواد مانند پلاستیسیته، ویسکوالاستیسیته و ویسکوپلاستیسیته گسترش یافت. بنابراین درک مفاهیم اساسی مکانیک شکست الاستیک خطی برای دریافت مفاهیم پیشرفته تر در این زمینه ضروری است که در این فصل مورد بررسی قرار خواهد گرفت. این بحث با بررسی مختصری از شکست در مقایس اتمی آغاز می شود.

۲-۲- شکست در مقیاس اتمی
یک ماده هنگامی شکست می خورد که تنش و کار کافی برای غلبه بر پیوندهای بین اتمی آن فراهم شده باشد. شکل (۱-۲) نمودار تغییرات انرژی پتانسیل و نیرو را در مقابل فاصله بین اتمها نشان می‌دهد. شرایط تعادل هنگامی برقرار می شود که انرژی پتانسیل کمترین مقدار خود را داشته باشد. برای افزایش فاصله اتمی از حالت تعادل، نیروی کششی لازم بایستی بتواند بر نیروی چسبندگی بین اتمها غلبه نماید. انرژی اتصال عبارتست از :
(۱-۲)
که در آن فاصله اتمی در حالت تعادل و P نیروی اعمال شده است.
مقاومت چسبندگی در سطح اتمی را می‌توان با ایده آل فرض کردن رابطه نیرو- تغییر مکان بصورت یک نیم موج سینوسی پیش بینی نمود:
(۲-۲)
که در آن فاصله در شکل ۱-۲ تعریف شده است. برای سهولت، مبدأ در در نظر گرفته شده است . برای تغییر مکانهای کوچک، رابطه نیرو – تغییر مکان بصورت خطی می‌باشد:
(۲-۲)
و سختی پیوند اتمی (ثابت فنر) عبارتست از :
(۳-۲)
با ضریب طرفین این معادله در تعداد پیوندها بر واحد سطح و طول مبنا ، k به مدول الاستیسیته E و به تنش چسبندگی تبدیل خواهد شد. اگر تقریبا معادل فاصله بین اتمی فرض شود، پس از حل برای خواهیم داشت:
(۴-۲)‌
و یا
(۵-۲)
باین ترتیب انرژی سطحی به صورت تقریبی برابر خواهد شد با :
(۶-۲)
انرژی سطحی بر واحد سطح، برابر نصف انرژی شکست است، زیرا وقتی که ماده شکست می‌خورد، دو سطح شکست ایجاد می‌گردد. با قرار دادن معادله (۴-۲) در (۶-۲) و پس از حل برای نتیجه می شود:
(۷-۲)
۳-۲- اثر تمرکز تنش ترک
روابط بدست آمده در بخش (۱-۲) نشان می دهند که مقاومت چسبندگی مواد از نظر تئوریک تقریبا معادل است، با این حال مقاومت شکست مواد حاصل از آزمایش معمولاً سه تا چهار مرتبه کمتر از مقدار فوق می‌باشد. آزمایشات انجام شده توسط لئوناردو داوینچی و گریفیث و دیگران نشان می‌دهند که اختلاف بین مقاومت واقعی مواد شکننده و پیش بینی های تئوریک بعلت وجود ترکهای بسیار ریز در این گونه مواد است. شکست اتفاق نخواهد افتاد مگر این که تنش در حد اتمی از مقاومت چسبندگی مواد تجاوز کند. بنابراین ترکهای ریز با افزایش تنش‌های محلی باعث کاهش مقاومت کلی ماده می‌شوند.

اولین تلاش برای نشان دادن اثر تمرکز تنش ترکهای ریز بوسیله اینگلیس [۱] انجام شد که طی آن سوراخهای بیضوی بطول a2 و عرض b2 در ورقهای تخت تحت تنش‌های عمود بر محور اصلی بیضی مورد تحلیل قرار گرفت ( شکل ۲-۲). او فرض کرد که سوراخ تحت تأثیر شرایط مرزی ورق قرار ندارد. یعنی عرض ورق و طول ورق. تنش در نوک محور اصلی (نقطه A) عبارتست از:
(۸-۲)
شکل ۲-۲ سوراخ بیضوی در یک ورق تخت
نسبت بصورت ضریب تمرکز تنش تعریف می شود. وقتی است، سوراخ دایروی شده و می باشد که با نتیجه بدست آمده از تئوری الاستیسیته یکسان است. با اضافه شدن طول محور اصلی a نسبت به b، سوراخ بیضوی بشکل ترک دو سر تیز ظاهر می شود.