بررسی روش های تحلیلی و تجربی ضربه عرضی روی صفحات کامپوزیتی و مقایسه آنها

بخشی از فهرست مطالب پروژه بررسی روش های تحلیلی و تجربی ضربه عرضی روی صفحات کامپوزیتی و مقایسه آنها                       
                                                               
۱  پیش  گفتار

     1-1 مقدمه۴
     2-1 کارهای  انجام شده در این پروژه۱۸
۲  تئوریهای  صفحه

     1-2 تئوری  تغییر شکل برشی مرتب?  اول(FSDT21
     2-2 تئوری  کلاسیک صفحه((CPT31
     3-2 ارائه یک تئوری جدید۳۳
     4-2 بررسی ضربه در چهار چوب تئوری ورق ارائه شده
             دربخش۳ -۲۵۱
     5-2 تئوری صفح? مرتب? بالاتر HOPT62
     6-2 انتشارامواج هارمونیک ۷۳
     7-2 ارتعاشات آزاد صفحه۷۹

۳   مدلهای ضربه
                                          
     1-3 مدل جرم-فنر۸۱
     2-3 مدل بالانس –انرژی۸۴
     3-3 واکنش تیر برنولی دربرابرضربه۸۹
     4-3 ضربه روی صفحه باتکیه گاه ساده براساس تئوری
           کلاسیک صفحه۹۴

     5-3 ضربه روی صفحه با تکیه گاه ساده براساس تئوری تغییر
     شکل برشی مرتب?  اول۹۵                          
 6-3 جواب تقریبی برای ضربه باامواج کنترل شده۹۹
     7-3 تئوری پوسته۱۱۰
     8-3 اندازه گیری ۱۱۵
۴   خسارت  ضربه با سرعت  کم (DAMGE)

     1-4 تستهای ضربه۱۲۰  
     2-4 انواع مدل در ضربه با تغییر شکل دائمی باسرعت کم۱۲۶
     3-4 روشهای تجربی برای تخمین خسارت۱۳۲
    
۵   نتیجه گیری۱۳۵
                                                                                       
 

مقدمه
ماده کامپوزیت لایه‌ای، شامل لایه‌هایی از حداقل دو ماده متفاوت است که توسط باندهایی به هم متصل شده‌اند. نتیجه روی هم قرار گرفتن لایه‌ها به منظور ترکیب بهترین خواص تک تک آنها برای ایجاد ماده جدیدی است یا موارد استفاده بیشتر. خواصی که توسط روی هم چیدن لایه‌ها تقویت می‌شوند عبارتند از: استحکام ـ سفتی وزن کم، مقاومت در برابر ضربه و غیره. لایه‌ها می‌توانند غیر ایزوتروپ باشند. و نیز لایه‌ها را می‌توان به نحوی انتخاب نمود که سفتی و مقاومت موردنیاز در طراحی یک سازه حاصل شود.
ماده کامپوزیت تقویت شده با الیافی  (Fiber-reinforcel composit ) material))  که مختصراً (FRCM) نامیده می‌شود، شامل الیاف‌هایی در یک ماتریس می‌باشد.اگر الیاف‌ها در یک راستای خاص قرار گیرند، ماده غیر ایزوتروپ خواهد بود، یک ورق کامپوزیت لایه‌ای شامل لایه‌هایی از FRCM است که در هر لایه، الیاف‌ها در راستایی متفاوت از راستای الیافها در سایر لایه‌ها چیده شده‌اند. این نوع کامپوزیت‌های لایه‌ای می‌توانند به نحوی طراحی شوند تا از نسبت‌های مقاومت به وزن و سختی به وزن بالایی برخوردار باشند. و نیز طراحی می‌تواند به گونه‌ای باشد که ورق لایه‌ای دارای جهات برتری از مقاومت و سختی تقویت شده باشد. و به این دلایل FRCM، جایگزین مناسبی است به جای مواد سفتی نظیر انواع فلزات در خیلی از کاربردها مانند صنایع‌ هوایی ،خودروسازی و تجهیزات ورزشی.

ضربه به ورق‌های کامپوزیت لایه‌ای:
در بعضی کاربردها، ورق‌های لایه‌ای ساخته شده از FRCM، تحت بار ضربه قرار می‌گیرند. به عنوان مثال لبه جلویی بال هواپیما یا پره یک موتور جت ممکن است به یک شیء خارجی مانند سنگ یا پرنده برخورد نماید. بار ضربه می‌تواند حتی در حین ساخت و یا تعمیر نیز پیش آید و نیروی ضربه به این مواد باعث بوجود آمدن خرابی‌های داخلی که با چشم غیرمسلح قابل رؤیت نیست شود که این امر در نهایت باعث تضعیف مقاومت و پایداری سازه خواهد شد. بنابراین مقاومت ورق‌های لایه‌ای در برابر ضربه باید شناخته شده باشد تا بتوان ورق‌هایی طراحی کرد که مناسب برای عملکرد مطمئن و امن در برابر ضربه باشند. دینامیک ضربه، شامل حرکت جسم ضربه زننده، ماده هدف و نیروی حاصل از ضربه بین این دو، می‌تواند به وسیله مدل‌های گوناگون و با روش‌های متفاوت بررسی شود.
در بخش بعدی مروری خواهید داشت بر مطالعات انجام شده توسط دیگر محققان در مورد ضربه به ورق‌های کامپوزیت لایه‌ای،

مروری بر بررسی‌های انجام شده روی ضربه به ورق‌های کامپوزیتی
Hertz نشان داده که با فشار استاتیکی دو جسم کروی شکل ایزوتروپ بر روی هم، تماس بر روی یک ناحیه دایره‌ای شکل صورت می‌گیرد به نحوی که توزیع فشار نرمال در این منطقه تماس به صورت توزیع هرتزین می‌باشد [۱]. ‌[1] Timoshenko روابطی بین شعاع دایره تماس، فرورفتگی و نیروی نرمال را ارائه نمود که در آن ارتباط بین نیرو و فرورفتگی به صورت یک رابطه غیرخطی محاسبه شده که به قانون تماس هرتز موسوم است. Timoshenko همچنین برخورد دو گلوله به هم را مورد بررسی قرار داده است.
[۲] cattopadhyay fusn پاسخ ورق‌های غیرایزوتروپ و تحت تنش اولیه را به ضربه یک گلوله در وسط ورق در قالب تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول مورد بررسی قرار داده و نیز ضربه و خیز ورق را توسط حل کردن یک معادله انتگرالی غیرخطی مشابه به معادله‌ای که در بررسی ضربه روی تیرها ظاهر می‌شود به دست آورده و نیز انرژی منتقل شده از جرم به ورق را در زمان ضربه، محاسبه کرده‌اند. این دو گزارش نموده‌اند که نقش کششی اولیه بیشتر باعث افزایش ماکزیمم نیروی تماس می‌شود ولی زمان ضربه، خیز ورق و تنش‌ها و انرژی منتقل شده از جرم به ورق در اثر تنش کششی اولیه بیشتر کاهش می‌یابد.
swanson&   [3] Sqianروش‌های مختلفی را دریافتن پاسخ ورق‌های کامپوزیت به ضربه یک گلوله مورد بررسی قرار داده‌اند. یکی از تکنیک‌های مورد بررسی آنان بر پایه استفاده از روش ریلی ـ ریتز هراه با انتگرال‌گیری عددی در زمان بوده و روش دیگر استفاده از تبدیل لاپلاس برروی معادلات دیفرانسیل‌ حاکم بر ورق و خطی‌سازی تغییر شکل محل برخورد می‌باشد. آنان نتایج خود را با نتایج‌ حاصل از آنالیز توسط المان محدود و آزمایشات تجربی مقایسه نموده‌اند که نتایج ارائه شده توسط این دو محقق نشان دهنده محدوده پارامترهای عددی برای ایجاد یک جواب خوب و دقیق می‌باشد.
[۴] swanson & chnistoforon مسئله ضربه را به صورت تحلیل مورد بررسی قرار داده‌اند، روش آنان بر پایه استفاده از سری‌های فوریه برای ورق‌ها بر روی تکیه‌گاه‌های ساده، همراه با استفاده از تبدیل لاپلاس قرار دارد. این دو پژوهشگر نیروی ضربه، جابجایی ورق و تنش کشش نرمال در وسط ورق را به دست آورده‌اند و در تحقیقاتشان، رابطه بین نیرو و فرورفتگی به صورت خطی در نظر گرفته شده است در صورتی که واقعاً این رابطه غیرخطی می‌باشد. دلیل استفاده ایشان از رابطه خطی این بوده است که معادله انتگرالی غیرخطی را که در مسئله ضربه برای حل نیرو با آن مواجه شده‌اند خطی نموده و به صورت تحلیلی حل نمایند. و همچنین سطح تماس را به صورت یک مربع ثابت و توزیع تنش را در این مربع، یکنواخت در نظر گرفته‌اند که البته این ساده سازی‌ها به علت کوچکی سطح تماس توجیه‌پذیر است.
[۵] sun & cheh رفتار یک ورق حاوی تنش اولیه تحت بار ضربه را مورد مطالعه قرار داده‌اند. اینان در بررسی خود از روش المان محدود استفاده کرده‌اند و قانون تماس از آزمایشات تجربی به دست آورده و در برنامه المان محدود خود به کار برده‌اند. آنان با تحلیل نتایج عددی حاصله، حاوی نیروی تماس، جابجایی و کرنش‌های در صفحه، گزارش نموده‌اند که تنش اولیه کششی باعث افزایش نیروی تماس و کاهش زمان ضربه می‌شود و عکس آن نیز برای تنش اولیه فشاری صادق است. همچنین پاسخ ضربه، تقریباً نسبت مستقیم با سرعت گلوله دارد. گلوله‌های سنگین‌تر، نه تنها نیروی تماس را زیادتر می‌کنند، بلکه زمان تماس را افزایش می‌دهند. جابجایی ورق نیز به وسیله ضربه گلوله‌های سنگین‌تر بیشتر می‌شود و بالاخره، پاسخ به ضربه،‌ نسبت به ابعاد گلوله حساس نمی‌باشد.
[۶] Mittal، ورق‌های تحت بار ضربه را مورد مطالعه قرار داده است وی اثرات تغییر شکل در رابطه با برش عرضی را که ورق‌های ضخیم غیرقابل صرف‌نظر کردن می‌شد، در نظر گرفته و جواب‌های بسته، با استفاده از یک تقویت نه چندان مهم، برای جابجایی و ممان خمشی در نقطه ضربه به دست‌ آورده است. این جواب‌ها، مستقل از شرایط مرزی در لحظات اولیه پدیده ضربه می‌باشند و این بدان معنی است که وی در بررسی خود، ابعاد ورق را بی‌نهایت در نظر گرفته و از تبدیلات نامحدود فوریه استفاده نموده است، همچنین با استفاده از قانون تماس هرتز، نیروی ضربه را در طول زمان ضربه مورد محاسبه قرار داد. و گزارش نموده است که اثر برش بر روی جابجایی، کمتر از اثر آن بر روی نیروی ضربه و همان خمش می‌باشد.
[۷] Greszczuk پاسخ مواد ایزوتروپ و کامپوزیت را به ضربه گلوله‌ها مورد مطالعه قرار داده است. تحقیق وی به منظور مطالعه پیرامون مکانیزم خرابی در مواد ایزوتروپ و کامپوزیت که تحت اثر بار ضربه قرار می‌گیرند، می‌باشد و موارد زیر را شامل است:
۱ـ مشخص کردن توزیع فشار متغیر با زمان در محل نقطه برخورد.
۲ـ مشخص کردن تنش‌های داخلی حاصل از این توزیع فشار در هدف.
۳ـ مشخص کردن مددها شکست حاصل از این تنش‌های داخلی در هدف.
در تحقیقات Greszcuzuk، توزیع فشار در زیر یک گلوله ضربه زن، به وسیله ترکیب حل دینامیکی مسئله ضربه اجسام با حل استاتیکی برای توزیع فشار بین دو جسم در تماس، مشخص شده است و با داشتن فشار سطحی متغیر با زمان، آنالیز استاتیکی برای به دست آوردن تنش‌های وابسته به زمان، در هدف مورد استفاده قرار گرفته است. و نیز تنش‌های داخل در هدف تشکیل شده از مواد کامپوزیت و ایزوتوپ نسبت به خواص هدف و گلوله، سرعت ضربه و شکل گلوله بررسی شده و از آن برای مشخص کردن سرعت حدی شکست استفاده شده است. در این پژوهش همچنین، منحنی‌هایی برای نشان دادن ارتباط بین خواص ماده، هدف و سرعت حدی برای شروع تخریب ارائه شده است.
[۸] lagace & carins، ورق‌های کامپوزیت ضخیم تحت اثر بار ضربه جانبی را مورد بررسی قرار داده و یک حل تحلیلی برای ورق ایزتوتروپ ارائه نموده‌اند. در روش حل از یک تابع تنش برای بدست آوردن تنش‌ها و کرنش‌های حاصل از بارگذاری به وسیله یک کره صلب، استفاده شده است. نامبردگان نتایج را به صورت نمودارهایی از نیرو در مقابل فرورفتگی موضعی که می‌تواند همراه با تئوری شکست، شروع شکست را در موضع ضربه پیش‌بینی کند، نشان داده‌اند مدل به کار رفته در این تحقیق در برگیرنده تمام هندسه‌ها و خواص غیرخطی مواد که در حین تغییر شکل‌ها و بارهای بزرگ دیده می‌شوند نیست ولی می‌تواند اطلاعات خوبی برای پیش‌بینی مرز شکست ارائه دهند.
[۹] lee & Reismann پاسخ دینامیکی یک ورق مستطیل شکل را در چهارچوب یک تئوری ورق که اثرات اینرسی دوران و تغییر شکل برش را در نظر می‌گیرد، بررسی کرده‌اند. این تئوری در واقع توسط [۱۰] Mindlin به دست آمده است. در تحقیق این دو پژوهشگر، یک جواب عمومی برای حرکت آزاد و اجباری ورق مستطیلی شکل در چهارچوب تئوری Mindlin ارائه شده است. همچنین پاسخ یک ورق مستطیلی تحت اثر ناگهانی توزیع فشار سطحی یکنواخت بررسی گردیده است و نتایج بدست آمده با تئوری کلاسیک ورق برای ارتعاش آزاد و اجباری مقایسه شده است. این دو در تحقیق خود از آنالیز مودال برای بررسی ارتعاشات اجباری استفاده نموده‌اند. به این ترتیب که ابتدا ارتعاش آزاد را بررسی نموده و فرکانس‌های ارتعاش و شکل مدها را بدست آورده و سپس با استفاده از یک رابطه تعامد مودها، پاسخ ارتعاش اجباری را به صورت ترکیبی از پاسخ ارتعاش آزاد، در نظر گرفته و مسئله حل و گزارش نموده‌اند که با افزایش ضخامت ورق، تفاوت بین پاسخ‌های یافته شده توسط تئوری کلاسیک و تئوری Mindlin زیاد می‌شود. البته در این تحقیق، اندازه فشار سطحی یکنواخت و دانسته فرض شده است و این فشار را توسط یک تابعHeaviside در  معادلات اعمال نموده‌اند.
[۱۱] Dobyns، ورق‌های ارتوتروپ بر روی تکیه‌های ساده را تحت بار استاتیکی و دینامیکی مورد مطالعه قرار داده است. در این تحقیق از معادلات ورق که توسط pagano & whitney به دست آمده و حاوی اثرات تغییر شکل برشی می‌باشند، استفاده شده است. بارگذاری‌های متغیربا زمان که در این تحقیق بررسی شده‌اند شامل بارهای پالسی سینوسی، مستطیل و مثلثی می‌باشند. این پالس‌ها به صورت بار یکنواخت بر روی ورق، بار نقطه‌ای و یا بار یکنواختی بر روی یک مساحت مستطیل کوچک و بار کسینوسی بر روی یک مساحت مستطیلی شکل در نظر گرفته شده‌اند، وی در بررسی‌های خود از روش آنالیز مودال برای یافتن پاسخ ارتعاشات اجباری استفاده نموده است.
[۱۳] saxena & chatto pedhyay اثرات ترکیبی تغییر شکل برشی و فرو رفتگی دائمی را بر روی پاسخ ورق‌های به بار ضربه، بررسی نموده‌اند. آنان از تئوری Mindlin استفاده و از اثرات اینرسی دورانی صرفنظر نموده‌اند. در نتایج ارائه شده، پاسخ‌های تئوری کلاسیک، تئوری midlin، تئوری کلاسیک با فرورفتگی‌ دائمی و تئوری midline با فرورفتگی دائمی، با هم مقایسه شده‌اند. آنچه که مشخص است این است که نیروی تماسی و جابجایی ورق، با در نظر گرفتن فرورفتگی دائمی، نسبت به فرورفتگی الاستیک کاهش می‌یابند.
 [14] sankar & sunدر بررسی ضربه عرضی، از روش‌ جالبی برای حل یک معادله انتگرالی غیرخطی که همواره در بررسی مسائل ضربه به وجود می‌آید استفاده نموده‌اند. آنان در حل این معادله انتگرالی که تعیین کننده پروفیل نیرو است، زمان را به t?‌های کوچک تقسیم کرد. و در هر t?، تغییرات نیرو را به صورت خطی در نظر گرفته‌اند. سپس با این تابع تقریبی، معادله انتگرالی را حل نموده‌اند. نتیجه کار این پژوهشگر، تعیین پروفیل نیرو برای مسئله ضربه بر روی تیر می‌باشد. همچنین اثرات تقسیم‌بندی روی زمان را نیز بررسی و به صورت نمودارهایی نشان داده‌اند.
[۱۵] Greene & Reismann ورق‌های دایره‌ای شکل، تحت بار با تقارن محوری، بر روی سطحشان را بررسی نموده‌اند. بار روی ورق، می‌تواند به نحو دلخواه توزیع و وابسته به زمان باشد. شرایط مرزی بررسی شده یک مجموعه کامل اثرات تغییر شکل برشی و لختی دورانی است، به دست آمده است. در روش حل از یک روش مود نرمال استفاده شده که در آن جواب دینامیکی به صورت یک بسط تابع ویژه، حول جواب استاتیکی نشان داده شده است و پاسخ یک ورق که از اطراف گیره شده و تحت اثر ناگهانی یک بار جانبی که به صورت یکنواخت بر روی مساحت دایره‌ای توزیع شده، به دست آمده است.
[۱۶] choi & chang تخریب حاصل از ضربه به ورق‌های کامپوزیت لایه‌ای گرافیت / اپوکسی را که به وسیله برخورد یک جسم خارجی با سرعت کم بوجود می‌آید بررسی نموده و مدلی برای پیش‌بینی شروع و پیشرفت شکست به صورت تابعی از خواص مواد، ترتیب، چیدن لایه‌ها و جرم جسم ضربه زننده را به دست آورده‌اند این مدل شامل آنالیز تنش و آنالیز شکست بوده و از روش المان محدود بر مبنای تئوری الاستیسیته خطی سه بعدی، برای محاسبه تنش‌ها و کرنش‌ها در ورق کامپوزیت استفاده شده است.
[۱۹] Amateau & harasek & strait، اثر غوطه‌وری در آب دریا را روی مقاومت مواد کامیوزیت در برابر ضربه به مورد مطالعه قرار داده‌اند ماده کامپوزیت به کار رفته در آزمایشات از نوع شیشه / اپوکسی می‌باشد.
[۲۰] Jun & kim ورق‌های ساندویچی کامپوزیت ساخته شده از وجوه گرافیت / اپوکسی و هسته‌های لانه زنبوری از جنس Nomex را تحت بار ضربه مورد مطالعه قرار داده‌اند و اندازه و شکل جدا شدن لایه‌ها از هم را تحت بار ضربه به صورت تجربی اندازه‌گیری نموده‌اند.
[۲۱] simmods & Names ورق‌های ساندویچی کامپوزیت ساخته شده از وجوه فایبرگلاس/اپوکس و هسته فم را تحت بار ضربه، از طریق ترکیب روش‌های محاسباتی و آزمایشگاهی بررسی نموده و نتایج حاصل برای پروفیل نیرو بر حسب زمان را با نتایج  آزمایشگاهی مقایسه کرده‌اند همچنین سختی ورق قبل و بعد از برخورد را با هم مقایسه نموده‌اند تا اثر شکست بر روی رفتار آینده ورق مشخص شود.
[۲۲] larve & Boghanovich ضربه یک جسم صلب به ورق کامپوزیت لایه‌ای مستطیلی شکل را مورد بررسی قرار داده و جابجایی‌ها، تغییر شکل‌ها و تنش‌ها را محاسبه کرده‌اند. ورق‌های مورد بررسی این دو محقق از جنس گرافیت / اپوکسی و چسب پلیمری / sorganic glas بوده و تئوری استفاده شده، تئوری لایه‌ای می‌باشد. نتایج نیروی تماس برای اندازه‌های متفاوت جرم و سرعت یک گلوله در انرژی ضربه معین ارائه شده. و آنالیز ناحیه شکست حاصل از ضربه در ورق ارتوتروپ سه لایه و پنج لایه گرافیت / اپوکسی برای ضربه با انرژی ۵/۲-۲ ژول و ترکیبات سرعت و جرم متفاوت انجام شده.
[۲۳] chang of wang & choi اثر ترتیب چیدن لایه‌ها، ضخامت و جرم جسم ضربه زننده را بر روی تخریب حاصل از ضربه با سرعت کم در ورق‌های لایه‌ای گرافیت / اپوکسی بررسی نموده‌اند.
[۲۴] Fann & Hung & lee ورق‌های ساندویچی کامپوزیت را تحت بار ضربه مطالعه نموده‌اند. این سه محقق، ورق ساندویچی را توسط دو ورق mindlin جداگانه مدل نموده‌اند و فرض کرده‌اند که در هسته برش عرضی و سختی نرمال وجود داشته است. این مدل اجازه بررسی تغییر شکل نسبی دو وجه، تحت بار متمرکز را می‌دهد.
اهمیت این نکته از آن رو است که وجه تحت بار عرضی رفتاری متفاوت از وجه دیگر دارد. این دو از روش المان محدود برای تحلیل ضربه به روی ورق ساندویچی ساخته شده از وجوه گرافیک / اپوکسی و هسته صلب فم مقایسه کرده و گزارش نموده‌اند که مدل به کار رفته می‌تواند رفتار دینامیکی ورق ساندویچی کامپوزیت را نسبت به ضربه با سرعت کم به نحو مطلوب توضیح دهد. این پژوهشگران همچنین اثر سرعت و جرم جسم ضربه زننده را بررسی نموده‌اند.
[۲۵] shyu & wu ورق‌های کامپوزیت تحت بار ضربه کره‌های صلب با سرعت کم را بررسی و گزارش نموده‌اند، که پدیده تماس در مورد فرورفتگی‌های کوچک و بزرگ متفاوت می‌باشد. و این به دلیل ایجاد چیدن لایه‌های دارای اثر جزئی بر روی رابطه نیرو و فرورفتگی می‌باشد. و بعد از مرحله فرورفتگی اولیه، تخریب اتفاق می‌افتد و نیز اندازه ناحیه ورقه ورقه شدن لایه‌ها متناسب با بار اعمالی و تعداد سیکل‌های بارگذاری می‌باشد.
[۲۶] yen & wu توسط روشی که از تئوری الاستیسیته غیر ایزوتروپیک سه بعدی استخراج شده، تماس بین یک ورق لایه‌ای کامپوزیت و یک کره صلب را بررسی نموده و پاسخ ورق و رابطه بین نیرو و فرورفتگی را به دست آورده‌اند. و رابطه عالی بین نتایج تئوری و اطلاعات آزمایشگاهی را گزارش نموده‌اند. این دو بیان نموده‌اند که رابطه نیرو و فرورفتگی تقریباً متناسب با مدول یانگ خارج از صفحه می‌باشد و توسط ضخامت ورق تحت تأثیر قرار می‌گیرد و اثر تغییرات مدول‌های یانگ در صفحه، مدول‌های برشی و ترتیب چیدن لایه‌ها در فرورفتگی‌های کوچک مهم نمی‌باشد. این دو محقق، بررسی خود را بر روی ورق‌های کامپوزیت لایه‌ای ساخته شده از لایه‌های ارتوتروپ قرار داده‌اند.

معرفی چند تئوری ورق:
دو تئوری ورق که به صورت گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند عبارتند از تئوری کلاسیک ورق و تئوری تغییر شکل برش مرتبه اول. در تئوری کلاسیک ورق فرض بر این است که جابجایی در راستای عمود بر سطح ورق و در ضخامت ورق ثابت می‌باشد و خطوط عمود بر سطح میانی ورق بعد از اعمال بار، همچنان به صورت خطوط عمود بر سطح میانی باقی می‌مانند. ولی در فرض اولیه تئوری تغییر شکل برش مرتبه اول گرچه جابجایی در راستای عمود بر سطح ورق در ضخامت ورق ثابت است و خطوط عمود بر سطح میانی ورق بعد از اعمال بار، همچنان به صورت خطی باقی می‌ماند اما لزوماً بر سطح میانی عمود نمی‌باشد. در این دو تئوری ورق فرض اولیه بر روی جابجایی‌ها است. نوع موادی که ورق از آن‌ها ساخته شده است و یا اینکه ورق ایزوتروپ است یا یک ورق کامپوزیت و اگر کامپوزیت است از چند لایه و با چه مشخصاتی تشکیل شده، در فرض اولیه بر روی جابجایی‌ها مطرح نمی‌باشد.
معادلات حرکت ورق، در حالت کلی با استفاده از روابط سه بعدی الاستیسته خطی یا با استفاده از اصل هامیلتون به دست می‌آیند و بسته به این که ورق ایزوتروپ است یا کامپوزیت می‌توان معادلات حرکت را بر حسب ضرایب موجود در روابط بین مؤلفه‌های تنش و کرنش مواد به کار رفته در ورق بازنویسی و ساده نمود. نمونه این امر در مورد تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول در بخش مربوطه توضیح داده شده که چگونه معادلات حرکت برای ورق کامپوزیت لایه‌ای ساخته شده از لایه‌های ارتوتروپ تحت این تئوری به دست آمده‌اند. برخلاف تئوری کلاسیک ورق که تنش‌های برش عرضی صفر فرض می‌شوند، در تئوری تغییر شکل برش مرتبه اول، این تنش‌ها در ضخامت ورق مقدار ثابتی است و در هر دو تئوری کرنش عرضی نرمال و تنش عرضی نرمال صفر فرض می‌شود.