تحقیق در مورد بزرگترین عدد اول

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 تحقیق در مورد بزرگترین عدد اول دارای ۱۸ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد تحقیق در مورد بزرگترین عدد اول  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی تحقیق در مورد بزرگترین عدد اول،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن تحقیق در مورد بزرگترین عدد اول :

بزرگترین عدد اول

بزرگ ترین عدد اولی که تا کنون کشف شده است، عدد ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷ است که ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد.
عدد اول : هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک که فقط بر خودش ویک بخش پذیر باشد،عدد اول نامیده می شود. مثل ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ;
عدد مرکب : هرعدد طبیعی بزرگ تراز یک که به جز خودش و یک بر عدد طبیعی دیگری نیزبخش پذیر باشد، عددی مرکب نامیده می شود . مثل ۴ ، ۶ ، ۸ ، ۹ ، ;
عدد مرسن :اعداد اولی به شکل ۱- Mn = 2n که در آن n اول باشد، اعداد اول مرسن نامیده می شوند. مثل اعداد ۳ و۷ که اولین و دومین اعداد اول مرسن هستند.

( ۱- ۲۲ = ۳ و ۱ – ۲۳ = ۷ )
نخستین اعداد اول مرسن عبارت اند از : ۳ ، ۷ ، ۳۱ ، ۱۲۷ ، ۸۱۹۱ ، ۱۳۱۰۷۱ ، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ ، ; که به ترتیب با n های اول ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷، ۱۳ ، ۱۷ ، ۱۹ ، ; متناظر هستند.
آقای مونک مارین مرسن فرانسویMonk Marin Mersenne1648-1588) ) که این اعداد را کشف کرد حدوداً ۳۵۰ سال قبل می زیسته است و اکنون ابر رایانه ها به کمک فرمول او سرگرم جستجوی اعداد اول بزرگ هستند.

بی شمار عدد اول وجود دارد اما علی رغم کوشش های فراوان هنوز هیچ رابطه یا نظمی که بتواند نحوه ی پراکندگی این عددها را در بین سایر اعداد نشان دهد، پیدا نشده است. به نظر می رسد که اعداد اول بدون هیچ نظم و الگویی و از روی تصادف در میان اعداد پراکنده شده اند. پیدا کردن بزرگ ترین عدد اول نه تنها برای ریاضیدان ها بلکه برای مهندسان و طراحان نرم افزارهای رایانه ای

نیز بسیار مهم است. چرا که یکی از کاربردهای اصلی اعداد اول در مسائل امنیت و ایمنی ارتباطات رایانه ای و به ویژه شبکه های مبادلاتی الکترونیک است. فرض کنید شما یک عدد اول بسیار بزرگ داشته باشید و از آن به عنوان یک کد یا یک امضای الکترونیک استفاده کنید و از عدد غول پیکر اول دیگری نیز به عنوان پاسخ امضاء یا تاییدیه استفاده نمایید. به این دلیل ک

ه اعداد اول هیچ توزیع منظمی ندارند بنابراین رمزهایی که بر اساس آن ها ساخته شده باشد به راحتی قابل شکستن نخواهد بود. این انگیزه ی مهمی برای جستجوی اعداد اول بزرگ تر است.بزرگ ترین عدد اول که چهل و سومین عدد مرسن است کشف شد. شبکه رایانه ایGIMPS ( Great Internet Prime Search)عدداول ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷ راکه ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد کشف کرد.

تعریف اعداد اول
عدد طبیعی P>1 را عدد اول می گویند هرگاه تنها مقسوم علیه های مثبت آن ۱ و P باشند. به عبارت دیگر یک عدد طبیعی اول است هرگاه جز یک و خودش بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نباشد.
هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.

به عنوان مثال اعداد ۲و۳و۵و۷ اول و اعداد ۱۲و۱۸و۳۲۵ مرکب می باشند.
• لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد ۲ است.
اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:
• نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

• قضیه بنیادی حساب:
هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت.
به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۱ باشد:
که در آن ها اعداد اول متمایر می باشند.

این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.
همچنین اگر n<-1 باشد باز هم می توان n را به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت:

که در آن ها اعداد اول متمایز می باشند.
• لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:۱۲=۲×۲×۳
تجزیه استاندارد یک عدد:
اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت:

که در آن ها اعداد اول متمایز و اعداد طبیعی اند.
این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.
• توجه: بزرگترین توان که: را به صورت می دهند.
به عنوان مثال تجزیه استاندارد ۱۲ به عوامل اول به صورت مقابل است:
این جدول شامل عامل‌های / مقسوم علیه‌های اول برای اعداد ۱ تا ۱۰۰۰ می باشد. توجه: تابع اضافی (a0(n = حاصل جمع علمل‌های اول عدد n می باشد. هرگاه n عامل اول باشد بصورت ضخیم نوشته شده است.
همچنین رجوع شود به: جدول مقسوم علیه‌ها، عامل‌های اول و غیر-اول برای اعدا ۱ تا ۱۰۰۰
n عامل‌های
اول a0(n) n عامل‌های
اول a0(n) n عامل‌های
اول a0(n)
۱ ۱ ۱ ۳۳۵ ۵•۶۷ ۷۲ ۶۶۹ ۳•۲۲۳ ۲۲۶
۲ ۲ ۲ ۳۳۶ ۲۴•۳•۷ ۱۸ ۶۷۰ ۲•۵•۶۷ ۷۴
۳ ۳ ۳ ۳۳۷ ۳۳۷ ۳۳۷ ۶۷۱ ۱۱•۶۱ ۷۲
۴ ۲۲ ۴ ۳۳۸ ۲•۱۳۲ ۲۸ ۶۷۲ ۲۵•۳•۷ ۲۰
۵ ۵ ۵ ۳۳۹ ۳•۱۱۳ ۱۱۶ ۶۷۳ ۶۷۳ ۶۷۳
۶ ۲•۳ ۵ ۳۴۰ ۲۲•۵•۱۷ ۲۶ ۶۷۴ ۲•۳۳۷ ۳۳۹
۷ ۷ ۷ ۳۴۱ ۱۱•۳۱ ۴۲ ۶۷۵ ۳۳•۵۲ ۱۹

۸ ۲۳ ۶ ۳۴۲ ۲•۳۲•۱۹ ۲۷ ۶۷۶ ۲۲•۱۳۲ ۳۰
۹ ۳۲ ۶ ۳۴۳ ۷۳ ۲۱ ۶۷۷ ۶۷۷ ۶۷۷
۱۰ ۲•۵ ۷ ۳۴۴ ۲۳•۴۳ ۴۹ ۶۷۸ ۲•۳•۱۱۳ ۱۱۸
۱۱ ۱۱ ۱۱ ۳۴۵ ۳•۵•۲۳ ۳۱ ۶۷۹ ۷•۹۷ ۱۰۴

۱۲ ۲۲•۳ ۷ ۳۴۶ ۲•۱۷۳ ۱۷۵ ۶۸۰ ۲۳•۵•۱۷ ۲۸
۱۳ ۱۳ ۱۳ ۳۴۷ ۳۴۷ ۳۴۷ ۶۸۱

۳•۲۲۷ ۲۳۰
۱۴ ۲•۷ ۹ ۳۴۸ ۲۲•۳•۲۹ ۳۶ ۶۸۲ ۲•۱۱•۳۱ ۴۴
۱۵ ۳•۵ ۸ ۳۴۹ ۳۴۹ ۳۴۹ ۶۸۳ ۶۸۳ ۶۸۳

۱۶ ۲۴ ۸ ۳۵۰ ۲•۵۲•۷ ۱۹ ۶۸۴ ۲۲•۳۲•۱۹ ۲۹
۱۷ ۱۷ ۱۷ ۳۵۱ ۳۳•۱۳ ۲۲ ۶۸۵ ۵•۱۳۷ ۱۴۲
۱۸ ۲•۳۲ ۸ ۳۵۲ ۲۵•۱۱ ۲۱ ۶۸۶ ۲•۷۳ ۲۳
۱۹ ۱۹ ۱۹ ۳۵۳ ۳۵۳ ۳۵۳ ۶۸۷ ۳•۲۲۹ ۲۳۲
۲۰ ۲۲•۵ ۹ ۳۵۴ ۲•۳•۵۹ ۶۴ ۶۸۸ ۲۴•۴۳ ۵۱
۲۱ ۳•۷ ۱۰ ۳۵۵ ۵•۷۱ ۷۶ ۶۸۹ ۱۳•۵۳ ۶۶
۲۲ ۲•۱۱ ۱۳ ۳۵۶ ۲۲•۸۹ ۹۳ ۶۹۰

۲•۳•۵•۲۳ ۳۳
۲۳ ۲۳ ۲۳ ۳۵۷ ۳•۷•۱۷ ۲۷ ۶۹۱ ۶۹۱ ۶۹۱

۲۴ ۲۳•۳ ۹ ۳۵۸ ۲•۱۷۹ ۱۸۱ ۶۹۲ ۲۲•۱۷۳ ۱۷۷
۲۵ ۵۲ ۱۰ ۳۵۹ ۳۵۹ ۳۵۹ ۶۹۳ ۳۲•۷•۱۱ ۲۴

۲۶ ۲•۱۳ ۱۵ ۳۶۰ ۲۳•۳۲•۵ ۱۷ ۶۹۴ ۲•۳۴۷ ۳۴۹
۲۷ ۳۳ ۹ ۳۶۱ ۱۹۲ ۳۸ ۶۹۵ ۵•۱۳۹ ۱۴۴

۲۸ ۲۲•۷ ۱۱ ۳۶۲ ۲•۱۸۱ ۱۸۳ ۶۹۶ ۲۳•۳•۲۹ ۳۸
۲۹ ۲۹ ۲۹ ۳۶۳ ۳•۱۱۲ ۲۵ ۶۹۷ ۱۷•۴۱ ۵۸
۳۰ ۲•۳•۵ ۱۰ ۳۶۴ ۲۲•۷•۱۳ ۲۴ ۶۹۸ ۲•۳۴۹ ۳۵۱

۳۱ ۳۱ ۳۱ ۳۶۵ ۵•۷۳ ۷۸ ۶۹۹ ۳•۲۳۳ ۲۳۶
۳۲ ۲۵ ۱۰ ۳۶۶ ۲•۳•۶۱ ۶۶ ۷۰۰ ۲۲•۵۲•۷ ۲۱

۳۳ ۳•۱۱ ۱۴ ۳۶۷ ۳۶۷ ۳۶۷ ۷۰۱ ۷۰۱ ۷۰۱
۳۴ ۲•۱۷ ۱۹ ۳۶۸ ۲۴•۲۳ ۳۱ ۷۰۲ ۲•۳۳•۱۳ ۲۴
۳۵ ۵•۷ ۱۲ ۳۶۹ ۳۲•۴۱ ۴۷ ۷۰۳ ۱۹•۳۷ ۵۶
۳۶ ۲۲•۳۲ ۱۰ ۳۷۰ ۲•۵•۳۷ ۴۴ ۷۰۴ ۲۶•۱۱ ۲۳
۳۷ ۳۷ ۳۷ ۳۷۱ ۷•۵۳ ۶۰ ۷۰۵ ۳•۵•۴۷ ۵۵
۳۸ ۲•۱۹ ۲۱ ۳۷۲ ۲۲•۳•۳۱ ۳۸ ۷۰۶ ۲•۳۵۳ ۳۵۵
۳۹ ۳•۱۳ ۱۶ ۳۷۳ ۳۷۳ ۳۷۳ ۷۰۷ ۷•۱۰۱ ۱۰۸
۴۰ ۲۳•۵ ۱۱ ۳۷۴ ۲•۱۱•۱۷ ۳۰ ۷۰۸ ۲۲•۳•۵۹ ۶۶
۴۱ ۴۱ ۴۱ ۳۷۵ ۳•۵۳ ۱۸ ۷۰۹ ۷۰۹ ۷۰۹
۴۲ ۲•۳•۷ ۱۲ ۳۷۶ ۲۳•۴۷ ۵۳ ۷۱۰ ۲•۵•۷۱ ۷۸
۴۳ ۴۳ ۴۳ ۳۷۷ ۱۳•۲۹ ۴۲ ۷۱۱ ۳۲•۷۹ ۸۵
۴۴ ۲۲•۱۱ ۱۵ ۳۷۸ ۲•۳۳•۷ ۱۸ ۷۱۲ ۲۳•۸۹ ۹۵
۴۵ ۳۲•۵ ۱۱ ۳۷۹ ۳۷۹ ۳۷۹ ۷۱۳ ۲۳•۳۱ ۵۴
۴۶ ۲•۲۳ ۲۵ ۳۸۰ ۲۲•۵•۱۹ ۲۸ ۷۱۴ ۲•۳•۷•۱۷ ۲۹
۴۷ ۴۷ ۴۷ ۳۸۱ ۳•۱۲۷ ۱۳۰ ۷۱۵ ۵•۱۱•۱۳ ۲۹

قضیه اعداد اول
در جستجو برای یافتن قانون حاکم بر توزیع عددهای اول، گام مهم و اساسی زمانی برداشته شد که ریاضیدانان از تلاش بی‌ثمر برای یافتن فرمول ریاضی ساده‌ای که همه اعداد اول یا تعداد دقیق عددهای اول در میان عدد صحیح نخست را به دس

ت دهد دست برداشتند، و به جای آن در جستجوی اطلاعات درباره متوسط توزیع عددهای اول در میان عددهای صحیح برآمدند.
فرض کنید به ازای هر عدد صحیح تعداد عددهای اول در میان اعداد صحیح ۱، ۲، ۳، ;، را با نمایش دهیم. اگر زیر اعداد اول در دنباله مرکب از چند عدد صحیح نخست خط بکشیم، می‌توانیم چند مقدار اولیه را محاسبه کنیم:

حال اگر دنباله دلخواهی از مقادیر را در نظر بگیریم که به طور نامحدود افزایش یابد، مثلاً
آنگاه مقادیر متناظر :
نیز به طور نامحدود (هر چند با سرعت کمتر) افزایش می‌یابند. از آنجا که می‌دانیم بینهایت عدد اول وجود دارد، مقادیر هم دیر یا زود از هر عدد متناهی تجاوز خواهند کرد. «چگالی» عددهای اول در میان عدد صحیح نخست با نسبت مشخص می‌شود و با استفاده از یک جدول اعداد اول، مقادیر را می‌توان به طور تجربی به ازای مقادیر نسبتاً بزرگ محاسبه کرد.

۰/۱۶۸
۰/۰۷۸۴۹۸
۰/۰۵۰۸۴۷۴۷۸
;;;. ;
می‌توان گفت که درایه آخر جدول بیانگر احتمال آن است که عدد صحیحی که به تصادف از میان عدد صحیح نخست انتخاب شده، اول باشد زیرا انتخاب ممکن وجود دارد که از آنها اول‌اند.
توزیع عددهای اول در میان اعداد صحیح فوق‌العاده بی‌نظم است. ولی این بی‌نظمی «در مقیاس کوچک»، از میان می‌رود به شرط اینکه توجه خود را به متوسط توزیع عددهای اول که با نسبت مشخص می‌شود معطوف کنیم. کشف قانون ساده‌ای که رفتار این نسبت از آن تبعیت می‌کند یکی از برجسته‌ترین اکتشافات در تمام ریاضیات است. گاوس از بررسی تجربی جدولهای اعداد اول دریافت که نسبت تقریباً برابر است و این تقریب با افزایش ظاهراً بهتر می‌شود. میزان خوبی تقریب با نسبت مشخص می‌شود که مقدارهایش به ازای =۱۰۰۰، =۱۰۰۰۰۰۰ و =۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰ در جدول زیر نشان داده شده‌اند.

۱/۵۹ ۰/۱۴۵ ۰/۱۶۸
۱/۰۸۴ ۰/۰۷۲۳۸۲ ۰/۷۸۴۹۸
۱/۰۵۳ ۰/۰۴۸۲۵۴۹۴۲ ۰/۰۵۰۸۴۷۴۷۸
; ; ; ;
گاوس براساس این گونه شواهد تجربی ح

دس زد که نسبت «به طور مجانبی» برابر با است. منظور از این گفته آن است که اگر دنباله‌ای از مقادیر را که مرتباً بزرگ و بزرگتر می‌شوند، مثلاً همان دنباله

را در نظر بگیریم، آنگاه نسبت به ، یعنی عدد

که به ازای همین مقادیر متوالی محاسبه شود، به ۱ نزدیک و نزدیکتر خواهد شد، و اختلاف این نسبت با ۱ می‌توان با محدود کردن به م

قادیر به اندازه کافی بزرگ، به قدر دلخواه کوچک کرد. این مطلب به صورت نمادین با علامت ~ بیان می‌شود:
به این معنی است که وقتی افزایش می‌یابد، به ۱ میل می‌کند.
با توجه به اینکه همیشه عددی صحیح است ولی چنین نیست، روشن می‌شود که چرا نمی‌توان علامت معمولی تساوی، =، را به جای ~ قرار داد.
این موضوع که چگونگی توزیع میانگین اعداد اول را می‌توان به وسیله تابع لگاریتمی توصیف کرد، کشف بسیار جالبی است زیرا شگفت‌آور است که دو مفهوم ریاضی که این قدر نامرتبط به نظر می‌رسند، در واقع چنین ارتباط نزدیکی با هم دارند.
اگر چه فهم صورت حدس گاوس آسان است، اثبات ریاضی دقیق آن بسیار دور از حدود امکانات علوم ریاضی در زمان گاوس بود. برای اثبات این قضیه، که فقط با ابتدایی‌ترین مفاهیم سروکار دارد، استفاده از قویترین روشهای ریاضیات نوین لازم است. تقریباً صدسال طول کشید تا آنالیز به درجه‌ای تکامل یافت که آدامار (۱۸۹۶) در پاریس و دلاواله پوسن در لوون (۱۸۹۶) توانستند اثبات کاملی از قضیه اعداد اول به دست دهند. من گولت و لاندوا صورتهای ساده شده و اصلاح شده مهمی از استدلال را عرضه کردند. مدتها قبل از آدامار، تحقیق پیشگامانه خطوط استراتژیک اقدام برای حل مساله مشخص گشته بود. نوربرت وینر ریاضیدان آمریکایی توانست این اثبات را اصلاح کند تا از به کار بردن عددهای مختلط در مرحله مهمی از استدلال اجتناب شود. با این حال، اثبات قضیه اعداد اول هنوز هم، حتی برای دانشجوی پیشرفته، آسان نیست. در سال ۱۹۴۹ پل اردوش ، استاد مسلم اپباع‌های ابتدایی ، و سلبرگ توانستند این قضیه را با تکنیک‌های ابتدایی نظریه اعداد و بدون استفاده از تکنیک‌های تحلیلی اثبات نمایند.
فرمول های اعداد اول

مساله‌ی توزیع اعداد اول در اعداد صحیح همیشه در بین ریاضی‌دانان مورد بحث و پژوهش قرار داشته و دارد. از جمله‌ی مسائل در این موضوع پیدا کردن فرمول حسابی برای یافتن اعداد می‌باشد. یعنی فرمول‌هایی که فقط عدد اول تولید کنند، هر چند همه آنها به دست ندهند. از جمله فرمول‌های قدیمی و معروف در این زمینه منسوب به مرسن است. به اعداد به شکل اعداد مرسن گویند. مثال‌های ساده‌ای نشانگر اینند که این فرمول ممکن است عدد اول تولید نکند. مثلا . جدول زیر لیست اعداد اول کشف شده می‌باشد:
# n (M(n تعداد رقم‌های (M(n تاریخ کشف کاشف
۱ ۲
۱ مشخص نیست ناشناس
۱ مشخص نیست ناشناس
۳ ۵
۲ مشخص نیست ناشناس
۴ ۷
۳ مشخص نیست ناشناس
۵ ۱۳
۴ ۱۴۵۶ ناشناس
۶ ۱۷
۷ ۱۹
۶ ۱۵۸۸ Cataldi
۸ ۳۱
۱۰ ۱۷۷۲ Euler
۹ ۶۱
۱۹ ۱۸۸۳ Pervushin

۱۰ ۸۹
۲۷ ۱۹۱۱ Powers
۱۱ ۱۰۷
۳۳ ۱۹۱۴ Powers
۱۲ ۱۲۷
۳۹ ۱۸۷۶ Lucas
۱۳ ۵۲۱

۱۵۷ January 30, 1952 Robinson
۱۴ ۶۰۷
۱۸۳ January 30, 1952 Robinson
۱۵ ۱,۲۷۹
۳۸۶ June 25, 1952 Robinson

۱۶ ۲,۲۰۳
۶۶۴ October 7, 1952 Robinson

۱۷ ۲,۲۸۱
۶۸۷ October 9, 1952 Robinson
۱۸ ۳,۲۱۷
۹۶۹ September 8, 1957 Riesel
۱۹ ۴,۲۵۳
۱,۲۸۱ November 3, 1961 Hurwitz
۲۰ ۴,۴۲۳
۱,۳۳۲ November 3, 1961 Hurwitz
۲۱ ۹,۶۸۹

۲,۹۱۷ May 11, 1963 Gillies
۲۲ ۹,۹۴۱
۲,۹۹۳ May 16, 1963 Gillies
۲۳ ۱۱,۲۱۳
۳,۳۷۶ June 2, 1963 Gillies
۲۴ ۱۹,۹۳۷
۶,۰۰۲ March 4, 1971 Tuckerman
۲۵ ۲۱,۷۰۱
۶,۵۳۳ October 30, 1978 Noll & Nickel
۲۶ ۲۳,۲۰۹
۶,۹۸۷ February 9, 1979 Noll
۲۷ ۴۴,۴۹۷
۱۳,۳۹۵ April 8, 1979 Nelson & Slowinski
۲۸ ۸۶,۲۴۳
۲۵,۹۶۲ September 25, 1982 Slowinski
۲۹ ۱۱۰,۵۰۳
۳۳,۲۶۵ January 28, 1988 Colquitt & Welsh
۳۰ ۱۳۲,۰۴۹

۳۹,۷۵۱ September 20, 1983 Slowinski
۳۱ ۲۱۶,۰۹۱
۶۵,۰۵۰ September 6, 1985 Slowinski
۳۲ ۷۵۶,۸۳۹
۲۲۷,۸۳۲ February 19, 1992 Slowinski & Gage
۳۳ ۸۵۹,۴۳۳

۲۵۸,۷۱۶ January 10, 1994 Slowinski & Gage
۳۴ ۱,۲۵۷,۷۸۷

۳۷۸,۶۳۲ September 3, 1996 Slowinski & Gage
۳۵ ۱,۳۹۸,۲۶۹
۴۲۰,۹۲۱ November 13, 1996 GIMPS / Joel Armengaud
۳۶ ۲,۹۷۶,۲۲۱
۸۹۵,۹۳۲ August 24, 1997 GIMPS / Gordon Spence
۳۷ ۳,۰۲۱,۳۷۷
۹۰۹,۵۲۶ January 27, 1998 GIMPS / Roland Clarkson
۳۸ ۶,۹۷۲,۵۹۳
۲,۰۹۸,۹۶۰ June 1, 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
۳۹ ۱۳,۴۶۶,۹۱۷
۴,۰۵۳,۹۴۶ November 14, 2001 GIMPS / Michael Cameron
۴۰ ۲۰,۹۹۶,۰۱۱
۶,۳۲۰,۴۳۰ November 17, 2003 GIMPS / Michael Shafer
۴۱ ۲۴,۰۳۶,۵۸۳

۷,۲۳۵,۷۳۳ May 15, 2004 GIMPS / Josh Findley
۴۲ ۲۵,۹۶۴,۹۵۱
۷,۸۱۶,۲۳۰ February 18, 2005 GIMPS / Martin Nowak

فرما این حدس مشهور را (که حکمی قطعی نبود) مطرح کرد که همه عددهای به شکل اول‌اند. در واقع به ازای n=1,2,3,4 داریم

که همه اول‌اند. اما اویلر در سال ۱۷۳۲ تجزیه را کشف کرد. پس (F(5 اعداد اول نیست. بعداً اول نبودن تعداد دیگری از این «عددهای فرما» هم معلوم شد؛ به دلیل دشواری اجتناب‌ناپذیر محاسبه مستقیم، روشهای عمیقتری برای تحقیق در هر مورد لازم است. تا کنون، اول بودن (F(n به ازای هیچ مقدار n>4 ثابت نشده است.
فرمول ساده و جالب توجه دیگری که عددهای اول بسیاری تولید می‌کند، فرمول

است به ازای(n=1,2,3,…,۴۰، f(n اول است؛ به ازای n=41، داریم که اول نیست. عبارت
به ازای همه nها تا n=79 اعداد اول را به دست می‌دهد اما به ازای n=80، عدد حاصل اول.