مقاله ریاضیات گسسته

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

  مقاله ریاضیات گسسته دارای ۵۲ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله ریاضیات گسسته  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله ریاضیات گسسته،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله ریاضیات گسسته :

مقدمه:
تاریخچه ریاضیات گسسته
پیشرفتهای سریع تکنولوژی در نیمه دوم قرن یبستم به ویژه پیشرفتهای شگفت آور علوم کامپیوتر، مسائل جدید را مطرح کردندکه طرح و حل آنها روشها و نظریه های تازه ای می طلبد. طبیعت متناهی و گسسته بسیاری از این مسائل موجب شده است که روشها و قواعد گوناگون شمارش از اهمیت خاصی بر خوردار شوند. توفیق مفاهیم لازم برای بررسی این مسائل به کار گیری منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها را اجتناب ناپذیر ساخته است.

معادلات تفاضلی، روابط بازگشتی، توابع مولد، از دیگراجزایی هستند ک در حل مسائل مورد بحث نقشی اساسی دارند از طرف دیگر هنگام بررسی مسائل مربوط به مدارها، شبکه های حمل و نقل، ارتبا طات بازاریابی و غیره نقش جایگزین ناپذری گرا فها قا طعانه آشکار می شود.

ریاضیات گسسته مقدماتی متنی فشرده برابر یک دوره ریاضیات گسسته در سطحی مقدماتی برای دانشجویان کارشناسی علوم کامپیوتر و ریاضیات است. مولفه های اساسی برنامه کار ریا ضیات گسسته در سطحی مقد ماتی عبارتند از : ترکیبات نظریه گرا فها همراه با کار بردهایی در چند مسئاله استاندارد

بهینه سازی شبکه ها، الگوریتمهایی برای حل این مسائل مهم اتحادیه سازندگان ماشینهای محاسبه و مهم کمیته برنامه ریزی یرای کارشناسی ریا ضی بر نقش حیاتی یک دوره درسی روشهای گسسته در سطح کارشناسی که دانشجویان را به حیطه ریاضیات ترکیباتی و ساختارهای جبری و منطقی وارد کند و روی ارتباط متقابل علوم کامپیوتر و ریاضیات تأکید داشته باشد صحه گذاشته اند.

جایگاه و ضرورت آموزش ریاضیات گسسته در نظام جدید دبیرستانی
در جریان تغییر نظام آموزش دوره های کارشناسی ریاضی در سالهای اخیر در دانشگاهها و موسسات آموزش عالی شاهد بودیم که درسهای جدید به تنا سب گرایشهای این رشته جایگزین درسهایی از نظام قبلی شدند. درس ریا ضیات گسسته نیز به ارزش ۴ واحد درسی در این راستا بعنوان یکی از واحدهای پایه همه گرایشهای دوره کارشناسی ریاضی در نظر گرفته شده است. در کتابهای درسی ریا ضی نظام جدید دبیرستان نیز شاهد گنجاندن مفاهیم پایه ای مربوط به مباحث مقدماتی ریاضیات گسسته مانند نظریه گراف و دنباله ها و آمار و احتمال و ; می باشیم.

همچنین در دوره پیش دانشگاهی نیز درسی جداگانه تحت عنوان ریاضیات گسسته در نظر گرفته شده است. از آنجا که این شاخه از ریاضی نیاز مند بحث و تبادل نظر از لحاظ آموزشی و تعیین جایگاه و ارتباط آن با سایر شاخه ها و موضوعات ریاضی می باشد.

مطالبی که در این قسمت از بحث طرح خواهد شد بیشتر بر اساس مقاله ای است که تحت عنوان »آموزش ریاضی گسسته در دوره دبیرستان« توسط پروفسور آ.کاتلین

در مجله بین المللی ریاضیات، علم و تکنولوژی ۱۹۹۰ درج شده است.
» انقلاب کامپیوتری، ریاضیات گسسته را همانند حساب دیفرانسیل و انتگرال برای علم و تکنولوژی ضروری ساخته است.«

محتوای کلی ریاضیات گسسته
محتوای دقیق یک دوره ریاضیات گسسته هنوز تا حدودی به طور مبهم باقیمانده است، زیرا هم کتابهایی که تاکنون در این زمینه به رشته تحریر در آمده و هم برنامه های درسی که در این مورد از سوی برنامه ریزان مباحث درسی ریاضی تهیه وتنظیم می شود، دقیقاَ نتوانسته اند موضوعات و قلمرو مباحث این درس را مشخص نمایند. موضوعاتی از قبیل نظریه اعداد و آمار و احتمالات و جبر خطی آنالیز عددی و مباحسات و برنامه سازیهای کامپیوتری ضمن اینکه در ریاضیات پیوسته جای پای محکمی دارند، در ریاضیات گسسته نیز خودنمایی و شکوفای روز افزون دارند. با این حال می توان گفت که ریاضیات گسسته شامل مباحثی است که مراحل مربوط به تغییرات گسسته و کمیتهای گسسته را توصیف می کند، در مقابل کالکوس که مراحل تغییرات به طور پیوسته را دنبال می کند پس به طور دقیق می توان گفت که ریاضیات گسسته کالکوس( حسابان) نیست.

به طور کلی یک دوره ریاضیات گسسته را می توان شامل عناوین زیر دانست:
منطق راضی و نظریه مجموعه ها ، ساختار های جبری از قبیل مباحث مربوط به گروهها و حلقه ها و میدانها و کواتریونها، شببکه ها جبر یون، نظریه گراف، روشهای ترکیبات و شمارش، نظریه اعداد محاسبات و الگوریتمهای عددی و تجزیه و تحلیل آنها، استقرار و روابط بازگشتی معادلات تفاضلی،آمار و احتمال با فضاهای نمونه ای گسسته.

تفاوت ریاضیات گسسته و حساب دیفرانسیل و انتگرال ( ریاضیات پیوسته)
در اساسی ترین سطح، مدلی برای بیان تفاوت بین ریاضیات گسسته و ریاضیات پیوسته ( یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال و شاخه هایی از آنا لیز که به حساب دیفرانسیل و انتگرال وابسته اند) تفاوت بین اعداد صحیح و اعداد حقیقی است. اعداد حقیقی، پایه همه ریا ضیاتی هستند که مانند حساب دیفرانسیل و انتگرال با خواص توابع پیوسته سر و کار دارند. در حالیکه ریاضیات گسسته بیشتر با توابعی سر و کار دارند که بر مجموعه نقاط گسسته تعریف شده اند( مثل

دنباله ها) واز بسیاری جنبه ها به طور کامل با ساختمان پرشکوه آنالیز که بر پایه حساب دیفرانسیل بنا شده است و به طور عمده به توابع پیوسته می پردازد، تفاوت دارد. می دانیم که سیستم های فیزیکی از تعداد زیادی ذرات گسسته – اتمها و مولکولها – تشکیل شده است، در عمل پیوسته فرض کردن ماده فرض بسیار مناسب و دقیقی است. این سبب می شوند که اکثر پدیده ها ی طبیعی سیستمهای فیزیکی که از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال مدل سازی می

شوند نوعاَ به صورت معادلات دیفرانسیل درآیند. این عملکرد آنچنان موفقیت شگفت انگیزی داشته است ک نتایج حاصل از آن تقریباَبرای همه مقاصد و اهداف ذاتاَ دقیق اند و موفقیت مهندسی وصنعت در قرنهای اخیر در سراسز دنیا مرهون این مدل سازی زیبا و دقیق و کار بردی ریاضی است، خصوصاَ از زمانی که

پیدایش حسابگرهای رقمی و سپس کامپیوترها امکان بررسی و حل عددی معادلات دیفرانسیل و دیگر معادلات را فراهم نمودند. این آغاز شکوفایی آنالیز عددی بود نمونه متعارف از مسائلی که با استفاده از تکنیکهای آنالیز عددی حل می شوند این است که فرمول بندی یک مساله فیزیکی را با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در نظر بگیریم و سپس آن را به شکل گسسته تبدیل کنیم تا با روشهای عددی قابل حل باشد. چنانچه در نمودار سیکلی مدل سازی

ریاضی برای مسائل فیزیکی بیان گردید مرحله نهائی این پروژه زمانی قابل استفاده برای مسائل فیزیکی خواهد بود که جواب یا پیش بینی حاصلها از الگوی ریاضی ارزش عملی دانسته باشد و این امر جز به وسیله آنالیز عددی و محاسبات عددی مربوط به آن و تجزیه تحلیل خطاهای وارده و استفادهاز اصل دقت متغیر در روشهای ریاضی امکان پذری ننخواهد بود. از طزفی نیاز به ریاضیات گسسته، محدود به آنالیز عددی میشد نمی توانستیم ادعا کنیم که چنین ریاضیاتی

نقش مقایسه کردنی با حساب دیفرانسیل و انتگرال دارد. آنالیز عددی با وجود کار بردهای وسیع، آن موضوعی تخصصی است نمی تواند تأثیر چشمکیری بر روند دآموزشی ریاضیات بگذارد هر چند آنالیز عددی مهمترین محل تلاقی ریاضیات پیوسته گسسته است امروزه تنها یک جزء کوچک از کار بردهای ریاضیات گسسته را در‌بر‌می‌گیرد.

محرک حقیقی برای رشد ریاضیات گسسته خود علوم کامپیوتری و همچنین نیازهای سایر رشته ها مانند اقتصاد ، پزشکی، زیست شناسی، علوم اجتماعی و; بوده است. بویژه هنگامی که اقتصاددانان و زیست شناسان سعی کردند که بحثهای خود را کمی تر و ریاضی تر نمایند با وجود این وضعیتهای تحت بررسی که باید مدلسازی می شدند اغلب گسسته بودند از مدلهائی شروع کردند که توسط حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم شده بودند زیرا به نظر نمی رسد چیز دیگری در دسترسشان باشد هنگامی که کامپیوترها بیشتر در دسترس قرار گرفتند و وقتیکه ریاضیات گسسته روشهای مفید و قابل دسترس فراهم کرد باید

اضافه کرد که مدل ریاضی مسائل فوق عوض اینکه به صورت معادله دیفرانسیل در آید به صورت یک معادله تفاضلی در آمد که چون حل معا دله تفاضلی خود به صورت مقادیر گسسته می باشد لذا نیازی به آنالیز عددی و تقریب جواب نیز نمی باشد بنابر این چون برای حل بیشتر این مسائل به ریاضیات گسسته نیاز داریم در آینده ریاضیات گسسته به طور فزاینده ای در مرکز توجه ریاضیات کاربردی قرار خواهد گرفت.نکته این نیست که در ریاضیات کاربردی، ریاضیات گسسته از آنالیز مهمتر خواهد بود یا نه در هر حال مساله مهم این است که هردو به اندازه کا فی مهم خواهند بود به طوری که اگر کسی بخواهد در ریاضیات یا هر رشته

ای که تنگاتنگ به ریا ضیات وابسته است پیشرفتی داشته باشذنمی تواند از دانستن ریاضیات کاربردی کلاسیک یا ریا ضیات گسسته یعنی ریا ضیات کاربردی جدید چشم بپوشد.

چنانچه قبلانیز اشاره شد باید توجه کرد که ریا ضیات گسسته و پیوسته وجه تمایز قاطعی ندارند بعضی از شاخه های ریاضیات، شامل عناصری از هر دونوع گسسته و پیوسته هستند.

مباحثی از ریاضیات گسسته
انواع ریاضیاتی که تحت عنوان ریاضیات گسسته شناخته می شود و انواع مسائلی که این نوع ریاضیات برای حل آنها به کار گرفته می شود با استفاده از تعدادی مثال بهتر فهمیده خواهد شد بعضی از این مثالها به طور کلی ریا ضی و بعضی مربوط به مسائل علمی خواهند بود این مثالها هرگز همه شاخه های ریا ضی موجود در ریا ضیات گسسته را در بر نمی گیردبلکه منظور از آوردنشان تنهااین است که روحیه حاکم بر ریا ضیات گسسته و کاربردهای آن نشان داده شود. اما شاخه هایی از ریاضیات گسسته که در زیر مورد بحث قرار خواهیم داد گستره گوناگونی از کاربردهای عملی را در بر خواهند داشت. همچنین تذکر این نکته ضروری است که از نظر آموزشی بهتر است ریاضیات گسسته و پیوسته به همراه همدیگر تعلیم داده شوند.

مرور تاریخی مباحث مهم ریاضیات گسسته:
• تجزیه مسائل به اجزایی که برای حل به فرمولهای همانند یا متفاوتی نیاز دارند بینشی کلیدی در پهنه های ریاضیات گسسته و ترکیباتی فراهم کرد این چیزی شبیه به روش از بالا به پایین برای بسط الگوریتمها در زبان ساخت یا فته ای نظیر زبان پاسکال است. در این روش برای حل مساله ای مشکل ابتدا الگوریتمی را با در نظر گرفتن اجزای فرعی مهم مسائل که نیاز به حل دارند تهیه می کنند سپس این اجزای فرعی بیشتر پالائیده شده – به کارهای انجام پذیر برنامه ریزی ساده تری تقسیم می‌شوند هر سطح پالایش، روشنی، دقت و جامعیت الگوریتم را بهبود می بخشد تا به راحتی قابل ترجمه به کد زبان برنامه ریزی شود.
مفهوم جایگشت را می توان در اثر عبری( کتاب آفرنش) دستخوشی عرفانی که در زمانی بین ۲۰۰تا۶۰۰ سال قبل از میلاد نوشته شده است یافت . اما حتی قبل از آن جالب است که بگوئیم قضیه ای از خنوکراتس اهل جالسدون(۳۹۶-۳۱۴ قبل از میلاد) در دست است که احتمالاَممکن است شامل » اولین تلاش در ثبت حل مسأله ای مشکل در جایگشتها و ترکیبها باشد.«

اولین فن حدس زدن (Ars Conjectandi) نوشته یاکوب برنولی(۱۶۵۴-۱۷۰۵ ) نخستین کتاب درسی است که پاره ای از مطالب این بحث را مورد بررسی قرار داده است این کتاب در سال ۱۷۳۱ پس از مرگ برنولی منتشر شد و شامل چاپ تازه اولین رساله رسمی درباره احتمال است که در ۱۶۷۵ کریستیان هوینگس نوشته است.

در ۱۸۳۷ پترگوستاف لوژون دیریکله (۱۸۰۵-۱۸۵۹) فرمولبندی دقیقتری را از مفاهیم متغیر، تابع، و تناظر بین متغیر مستقلx ومتغیر وابسته y ، وقتی پی ریزی کرد کاردیله بر بستگی بین دو مجموعه از اعداد تأکید داشت و منربوط به وجود فرمول یا عبارتی که دو مجموعه را به هم مربوط کند بشود. با پیشرفتهایی که در نظریه مجموعه ها در طی قرنهای نوزده و بیست صورت گرفت تعمیم تابع به صورت نوعی خاص از رابطه در آمد.
دیرکله علاوه بر کار اساس اش درباره تعریف تابع در ریاضیات کاربردی و در نظریه اعداد نیز کاملاَ فعال بوددر همین جا بود که نیاز به اصل لانه کبوتررا که اغلب به آن اصل کشوی دیریکله هم می گویند دریافت.

• اعدا استرلینگ به ا فتخار جیمز استرلینگ(۱۶۹۲-۱۷۷۰) که در بسط تابعهای مولد پیشگام بوده است، به این نام خوانده شده اند.
اصل شمول و عدم شمول تاریخچه جالبی دارد که در نوشته های مختلف تحت نامهایی نظیر » روش غربال« یا » ا صل رده بندی حذ فی« وجود دارد یک صورت نظریه مجموعه ای این اصل که با اجتماعها و اشتراکها سر وکار دارد در اصول شانسها (۱۷۱۸) کتابی درسی درباره نظریه احتمال اثر آبرام دمواورآمده است کمی پیشتر از آن در۱۷۱۳ پی ریمون دمونموراندیشه زیر بنایی این اصل را در حل مسأله‌ای که عموماَ به مسأله پریشیها معروف است به کار برد.
امتیاز این نحوه بسط و پرداختن به این اصل، از آن جیمز جوزف سیلوستراست ولی اهمیت این تکنیک تا زمانی که نوشته های ویت ورت ریاضیدانان را از توان واستفاده آن آگاه نکرده بود،به طور کلی درک نشده بود.

نظریه گراف
یکی از شاخه های مهم ریاضیات در حالتی گسترده با موضوعات مختلف نظریه گراف می باشد . نظریه گراف یکی از کاربردی ترین شاخه های ریاضیات گسسته است یکی از محبوبترین و پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتری است.
یکی از دلایل مهم این علاقه به نظریه گرا فها در قابلیت کاربرد آن در بسیاری از مسایل پیچیده و گسترده جامعه مدرن در زمینه های گوناگون نظیر ا قتصاد، توزیع، خدمات، مدیریت، بازاریابی ، مدلسازی انرژی، انتقال اطلاعات و برنامه‌ریزی حمل و نقل نهفته است، از این جهت نظریه گرافها را نخست و قبل از همه به عنوان ابزاری برای فرمولبندی مسائل و تعریف روابط متقابل ساختاری به کار می گیرند.رشته نظریه گرافها دارای دوشاخه متفاوت است ۱- جنبه های جبری
۲- جنبه های بهینه سازی
مسأله پل کونیگسبرگ:

نخستین مطلب منتشر شده درباره نظریه گرا فها از لئونهارت اویلرسوئیسی در ۱۷۳۶ بود مقاله او راه حل را برای مسئله ای که بنام مسئله بل کونیکسبرگ مشهور است ارائه می کردشهر کونیکسبرگ در روسیه که در کنار رود پرگل واقع شده است از شاخص شمالی(N) ساحل جنوبی (S )جزیره غربی(W) و جزیره شرقی(E) تشکیل شده است. ارتباط بین این چهار قسمت به وسیله هفت پل برقرار می شد.دوپل بینN وW دوپل بین S وW و یک پل ازE به هر یک ازNوS وW

(مطابق شکل)مسئله ای که اویلر مطرح کرد این بود که »آیا امکان دارد از جایی در شهر شروع به حرکت کرد و پس از پیمودن هر پل دقیقاَیکبار به نقطه شروع بازگشت یا نه؟« اگر هر قسمت شهر بعنوان یک رأس و هر پل بعنوان یک یا ل تلقی شود. گراف با چهار رأس، هفت بال داریم که مدلسازی مسئله نامبرده را به زبان گرافها به دست می دهد که می توان مسئله را به این شرح بیان کرد: گرافی (نه لزوماَ ساده) مفروض است، آیا امکان دارد کل نمودار این گراف را چنان پیمود که از روی هر بال بیش از یک بار عبور بکنیم؟

اویلر به آسانی ثابت کرد که در مورد مسئله بل کونیکسبرگ پاسخ منفی است.

– طریقه نمایش گراف

نقاطP ،Q ،R ،S ،T ،رئوس(Vertices )و خطوطی که رئوس را با هم وصل می کند ضلع (e d g e )نامیده می شودتوجه داریم که محل تلاقی QT وPS یک رأس نیست این دیاگرام را یک گراف(g r a p h ) می نامیم. درجه (d e g r e e )یک رأس A در یک گراف ، برابر تعداد اضلاعی است که رأس A نقطه انتهایی آنها می باشد.لذا درجه Q برابر با۴ است. یک گراف را می توان به طرق مختلف نمایش داد مثلاَمی توانستیم ضلع S وP را خارج ا ز مستطیل رسم کنیم چون گرافی را که می سازیم مشخص مجموعه ای از نقاط و راههایی است که آنها را به هم وصل می کند خواص متریک در آنها صادق نیستند لذا از این دیدگاه هردو گرافی که دارای یک ساختار باشند، نمایانگر یک گراف خواهند بود مانند شکلهای(الف و ب).

یالها ممکن است بدون جهت باشندیا جهت داشته باشند که در حالت اخیر آن را گراف جهت دار یا دی گراف می نامیم.

گراف هامیلتونی
ریاضیدان شهیر ایرلندی سر ویلیام هامیلتون (۱۸۰۵-۱۸۶۵) است که وجود جوابی برای بازی » دوددینا« را مورد پژوهش قرار داد.دراین بازی از یازیکن خواسته می شود که راهی در امتداد یالهایی یک دوازده وجهی ( یک چند وجهی منظم با۲۰ رأس،۸۰ یال و۱۲ وجه) چنان بیابد که از هررأس دقیقاَ یک بار بگذرد و سپس به رأس شروع حرکت باز گردد بدین سان این بازی دارای جواب است اگر فقط G یک گراف هامیلتونی باشد.

تعریف: مسیری بین هر دو رأس گراف که از هر رأس دقیقاَیک بار بگذرد.مسیرها میلتونی گویند . مسیری بسته را که از هر دقیقاَ یک بار بگذرد و در آن همه یالها متمایز باشند دور هامیلتونی می نامند. گرافی را گراف هامیلتونی گویند هرگاه دور هامیلتون داشته باشد.

یکی ازمعروفترین مسائل در نظریه گراف،مسئله چهار رنگ است، هر چند که این مسئله در اصل مربوط به نقشه هاست نه گرا فها، اما حل آن با گراف است.

نقشه ای با ۴۸ ایالت همجوار را در نظر بگیرید مسأله این است که کمترین تعداد رنگهایی که لازم است تا نقشه را چنان رنگ آمیزی کنیم که هیچ دو ناحیه هم مرز(که در بیش از یک نقطه هم مرزند و ناحیه یک تکه اند) رنگ مشابهی نداشته باشندد چند تاست؟ گرچه این مسأله بیشتر از لحاظ ریاضی مهم است تا از لحاظ جغرا فیایی، ولی ممکن است برای مثال بر کار نقاشی که می خواهد یک اطلس را رنگ آمیزی کند، و باید بداند که چند رنگ مرکب لازم خواهد داشت اثر بگذارد. قضیه چهار رنگ بیان می دارد که برای رنگ آمیزی هر نقشه ای که بتواند آن را بر روی کاغذ رسم کرد، چهار رنگ کافی است این مسأله برای اولین بار در نیمه اول قرن نوزدهم مطرح شد و تنها حدود بیست سال قبل ۹۷۷ با استفاده از نظریه گراف قضیه های فراوان و ۱۲۰۰ ساعت از وقت یکی از سریعترین

کامپیوترهای زمان توسط دو ریاضیدان به نامهای کنت اپل و ولگانگ هیکن در دانشگاه ایلی نویز حل شد چگونه قضیه چهار رنگ به صورت قضیه ای در نظریه گراف مطرح می گردد؟ اگر به جای هر یک از نواحی نقشه، یک رأس در نظر بگیریم و سپس فقط رأسهای مربوط به نواحی هم مرز زا به یکدیگر وصل کنیم نقشه مورد نظر تبدیل به یک گراف می شودگراف حاصل با نقشه مورد نظر متناظر است. اپل و هیکن با استفاده از یک کامپیوتر سریع به بررسی تعداد زیادی از حالتهای ممکن که پیش از آن از طریق تحلیل ریاضی نشان داده شده بود که بررسی آنها برای اثبات قضیه کفایت می کند پرداختند و به این ترتیب قضیه را ثابت کردند

بنابر این مسأله ای که بیش از نیم قرن در مقابل حمله تعدادی از برگترین ریاضیدانهای زمان مقاومت کرده بود، در برابر یک تحلیل کامپیوتری که بر پایه پیشرفتهای ریاضی نظریه گراف بنا شده بوداز پای در امد.می دانیم که عدد کروماتیک (رنگی )یک گراف عبارت است از مینیمم (Minimom ) تعداد رنگی که بتوان رئوس گراف را رنگ زد، طوری که دو رأس همجوار دارای رنگهای یکسان نباشند. بنابر این عدد ۴ عدد رنگی گرافی است که متناظر با نقشهای است که برای نثال ۴۸ ایالت دارد که به وسیله عملیات جبری محاسبه می شود.

یکی از مسائل مهم و عمده در نظریه گراف و مسائلی که از مدل سازی ریاضی سیستمهای فیزیکی اقتصادی، اجتماعی، زیستی و; پدید می آیند پیدا کردن عدد رنگی یک گراف می باشد این موضوع برای گرا فهای با تعداد اضلاع و رئوس متناهی پایین ( برای نثال با تعداد رئوس ۴و۵و…)به سادگی برای انواع گرا فها محاسبه می‌شود ولی وقتی تعداد رئوس یا اضلاع بیشتر و یامتناهی باشداز مسائل پیشرفته و پیچیده این نظریه می باشد.
یک روش جالب در این مورد که از مفاهیم مربوط به نظریه حلقه ها استفاده کرده و ارتباطی بین نظریه گراف و نظریه حلقه ها در جبر ایجاد کرده است مبتنی بر مقاله ای است با عنوان» رنگ کردنن حلقه های جابجایی« توسط استوان بک (Istvan Bek ) می باشد که موضوع پایان‌نامه تحصیلی در دوره کارشناسی ارشد استاد ارجممند دکترمحمد‌جهانشاهی نیز بوده است. در این روش با استفاده از مفاهیم نظریه حلقه ها از قبیل ایده آلها و عناصرپوچ توان در یک حلقه، عددرنگی از گرا فهای نامتناهی را که دارای ساختار حلقه هستند پیدا شده است.
مسائلی ازنظریه گراف: نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات گسسته است ک برای حل و فرموله کردن بسیاری از مسائل اجتماعی از قبیل حمل ونقل، ترا فیک در شهرها، آلودگی، سرویسهای شهری ژنتیکی، مسائل پلیسی و مسائل مهندسی از قبیل انرژی و مدارهای الکتریکی، مهندسی شیمی و…با کار می رود نمی توان ادعا کرد که نظریه گراف به تنهایی قادر به حل این مسائل است و یا بدون نظری گراف حل این مسا ئل غیرممکن است بلکه این نظریه وسیله ای برای فرموله کردن این مسائل است.
اغلب فرموله کردن دقیق مسأله به ما مشان می دهد که چرا مسأله دشوار است؟و برای حل آن چگونه باید داده ها ی مسأله ر برای بازکردن موجود در مسأله، تنظیم و سازماندهی کرد بنابراین گاهی وقتها نظریه گراف مسأله را حل می کند و یا دست کم به ما این بصیرت را می دهد که چگونه از امکانات موجود برای رسیدن به هدف خاصی استفاده کنیم.
۱- اگر تعداد روشهای مختلف رنگ کردن رئوس گراف G را با رنگ مختلف نشان دهد طوری که در هر روش هیچ دو رأس همجوار دارای رنگ یکسان نباشد در مورد هر یک از گرافها ی زیر عبارتی تحلیلی برای بیان بر حسب K پیدا کنید.

حل: در مورد (الف) ملاحظه می کنیم که اگر نقطه میانی به K طریق رنگ شود آن گاه نقطه های انتهایی به طریق رنگ خواهند شد لذا برای عبارت است از:
در مورد (ب) ملاحظه می کنیم که شبیه حالت (الف)، می تواند به صورت
و بالاخره در مورد (ج) اگر یکی از رئوس به K طریق رنگ شود رأس دیگر به طریق و رأس سوم به طریق رنگ خواهد شدلذا برابر است با :
همین طور برای چنین گرافی باn رأس داریم:

ملاحظه می کنیم که در مورد گرا فها ی(الف)و(ب)حداقل مقدارk برابر ۲و در مورد گراف (ج) حداقل مقدار k برابر ۳ می باشد. کمترین مقدار ممکن k را با شرایط فوق عدد رنگی گرافG می نامیم و با(G)X نشان می دهیم.
۲- می خواهیم با هفت دبیر دبیرستانی پنج کمیته آموزش، پژوهش، ورزش، هنرو کتابخانه چنان تشکیل دهیم که برخی از دبیران بتوانند در بیش از یک کمیته عضویت داشته باشند اگر هر کمیته موظف باشد که جلسه ای یک ساعته با حضور تمام اعضای خودتشکیل دهد .زمان لازم برای این که تمام کمیته ها بتوانند وظایف خود را انجام دهند چقدر باید باشد؟

حل: فرض کنیم دبیران با a وکمیته ها با نشان داده شوند همچنین اعضای کمیته ها به صورت زیر مشخص شده باشند.
عضوکمیته هستند .
عضو کمیته هستند.
عضو کمیته هستند.
عضو کمیته هستند.
عضو کمیته هستند.
اگر به هر کمیته یک نقطه نسبت دهیم و دو نقطه را با خطی به هم وصل کنیم ، هرگاه یکدبر بخواهد در بیش از یک کمیته عضویت داشته باشد، آنگاه گراف مربوط به این وضعیت می تواند به صورت زیر باشد.