تحقیق ریاضی عمومی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 تحقیق ریاضی عمومی دارای ۶۱ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد تحقیق ریاضی عمومی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی تحقیق ریاضی عمومی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن تحقیق ریاضی عمومی :

پیوستگــی
۶ . ۱ مفاهیم اولیه پیوستگی
توابع پیوستگی از لحاظ دیداری، توابعی هستند که در هیچ نقطه‌ای پارگی نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شکل ۶ . ۱ . ۱، در نقطه a و b و c پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است.

(شکل ۶. ۱. ۱)
۶. ۱ . ۱ تعریف ـ تابع f را در نقطه a پیوسته می‌گوئیم هرگاه، f(a) موجود باشد.

۶. ۱. ۲ مثال ـ فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده است.

اگر

پس f در پیوسته است. اما،

بنابراین f در a=1 پیوسته نیست. نمودار تابع در شکل ۶. ۱. ۲ رسم شده است.

(شکل ۶. ۱. ۲)
۶. ۱. ۳ مثال ـ در شکل نمودار تابع ، رسم شده است. شکل نشان می‌دهد که f‌ در پیوسته نیست.

(شکل ۶. ۱. ۳)
۶. ۱. ۴ تبصره ـ فرق عمده‌ای بین ناپیوستگی تابع f‌ در مثال ۶. ۱. ۲ و تابع g‌ در مثال ۶. ۱. ۳ وجود دارد. اگر مقدار f را در نقطه ، ۵ تعریف کنیم، یعنی قرار دهیم ، در این صورت تایع پیوسته می‌شود. ولی اگر را هر عددی اختیار کنیم، تابع نمی‌تواند پیوسته باشد.
اصطلاحاً ناپیوستگی f را رفع شدنی و ناپیوستگی g را رفع نشدنی می‌گوئیم.
۶. ۱. ۵ تعریف ـ اگر f تابعی باشد که حول یک همسایگی از a تعریف شده باشد و در نقطه a ناپیوسته باشد. ناپیوستگی f‌ را در نقطه a را رفع شدنی می‌گوئیم هرگاه موجود و متناهی بوده ولی . در غیر این صورت ناپیوستگی را رفع نشدنی می‌گوئیم.
در حالت ناپیوستگی رفع نشدنی، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه می‌گوئیم.
۶. ۱. ۶ مثال ـ تعیین کنید کدام یک از توابع زیر در نقطه داده شده ناپیوستگی دارند و از چه نوع؟
در در نقطه
حل ـ برای f داریم:

در نتیجه f ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.
در مورد g‌ می‌توان نوشت:

داریم در نتیجه موجود نیست. بنابراین g‌ ناپیوستگی از نوع رفع نشدنی دارد.
۶. ۱. ۷ قضیه
الف) اگر f و g در نقطه a پیوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نیز در نقطه a پیوسته هستند. و همینطور اگر نیز در a پیوسته است.
ب) اگر f در a پیوسته باشد و g‌ در f(a) پیوسته باشد آنگاه gof در a پیوسته است.
اثبات ـ (الف) با توجه به قضیه‌های ۵. ۲. ۵ و ۵. ۲. ۶ واضح است. (ب) با توجه به قضیه ۵. ۲. ۷ واضح است.
۶. ۱. ۸ قضیه ـ (پیوستگی توابع خاص)
۱) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پیوسته هستند.
۲) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه که تعریف شده باشند، پیوسته‌اند.
۳) توابع چند جمله‌ای همه جا پیوسته‌اند.
۴) توابع کسری در هر نقطه که تعریف شده باشند پیوسته هستند.
۵) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پیوسته است ولی اگر n زوج باشد به ازای هر ، در a پیوسته است.
اثبات ـ (۱) و (۲) از قضیه ۵. ۳. ۵ نتیجه می‌شود، (۳) از قضیه ۵. ۳. ۱ نتیجه می‌شود، (۴) با توجه به (۳) و قضیه ۶. ۱. ۷ اثبات می‌شود و (۵) با توجه به قضیه ۵. ۳. ۳ ثابت می‌شود.
۶. ۱. ۹ مثال ـ توابع زیر را در نظر بگیرید:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپیوستگی را در صورت وجود پیدا کنید، نوع آنها را مشخص کنید و جهش آنها را در نقاط ناپیوستگی، در صورت وجود بیابید.
حل ـ (الف) تابع در فاصله‌های و پیوسته است. بنابراین، احتمالاً تابع در نقاط ۳=x ، ۱=x ناپیوستگی دارد. داریم:

و مقدار تابع در ۱=x برابر است با
پس تابع در ۱=x پیوسته است.
نقطه ۳=x را در نظر بگیرید:

چون حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر نیست، پس تابع در نقطه ۳=x ناپیوستگی نوع رفع نشدنی دارد. جهش این تابع در این نقطه برابر است با:
(ب) داریم:

پس تابع در ۳=x ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.
(ج) تابع در تمام نقاط به جز پیوسته است.

پس تابع در ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.
۶. ۱. ۱۰ تعریف ـ اگر یا یا هر دو موجود نباشد، می‌گوئیم تابع در ناپیوستگی اساسی دارد.
۶. ۱. ۱۱ مثال ـ در پیوستگی توابع زیر بحث کنید:
و و
حل ـ با توجه به ۵. ۱. ۱۳، وجود ندارد، لذا g‌ در ۰=x ناپیوستگی اساسی دارد و در بقیه نقاط پیوسته است.
و چون و ، لذا f(x) همه جا پیوسته است و h(x) فقط در نقطه ۰=x ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد. (شکل ۶. ۱. ۴)

(شکل ۶. ۱. ۴)
۶. ۱. ۱۱ مثال ـ فرض کنید . b را طوری بیابید که f‌ در ۰=x پیوسته باشد.
حل ـ بایستی داشته باشیم . اما

بنابراین
مجموعه مسائل ۶. ۱
۱. تابع را در نظر بگیرید. اولاً تابع در چه نقاطی پیوسته است. ثانیاً آیا می‌توان تابع را در نقطه ۰=x طوری تعریف کرد که پیوسته گردد؟
۲. نقاط ناپیوستگی و نوع آنها را برای تابع f تعیین کنید:

۳. آیا a را می‌توان طوری انتخاب کرد که تابع ، در ۰=x پیوسته شود.
۴. آیا تابع در هر نقطه از بازه پیوسته است؟ تابع چطور؟
۵. ثابت کنید:
الف) تابع D(x) در تمام نقاط ناپیوستگی اساسی دارد.
ب) تابع xD(x) در تمام نقاط بجز ۰=x ناپیوستگی اساسی دارد و در ۰=x پیوسته است.
ج) تابع در تمام نقاط بجز ۱، ۰=x ناپیوستگی اساسی دارد و در ۱ ، ۰=x پیوسته است.
۶. آیا می‌توانید تابعی بسازید که در نقاط پیوسته باشد و در نقاط دیگر ناپیوستگی اساسی داشته باشد.
*۷. ثابت کنید تابع در هر عدد گنگ پیوسته است و در اعداد گویا ناپیوستگی رفع شدنی دارد.
*۸. ثابت کنید تابعی وجود ندارد که در هر عدد گنگ پیوسته باشد و در اعداد گویا ناپیوستگی اساسی داشته باشد.
۹. فرض کنید f و g همه جا پیوسته باشد ثابت کنید و نیز چنین هستند.
توضیح: و به صورت زیر تعریف می‌شوند.

راهنمایی ـ برای هر ، a داریم:

۱۰. پیوستگی توابع مرکب و را بررسی کنید: