به دست آوردن جواب های مثبت برای معادلات براتو با استفاده از روش تجزیه آدومیان

    
فهرست مطالب

پیشگفتار    1
فصل اول: کلیات    2
۱-۱  مقدمه    3
۱-۲  معادله انتگرال    3
۱-۳  تقسیم بندی معادلات انتگرال    4
      1-3-1 معادلات انتگرال خطی فردهلم    5
      1-3-2 معادلات انتگرال خطی ولترا    6
      1-3-3 معادلات انتگرال- دیفرانسیل    8
      1-3-4 معادلات انتگرال منفرد    9
      1-3-5 معادلات انتگرال فردهلم-ولترا    10
فصل دوم: ادبیات و پیشینه تحقیق    11
۲- ۱  مقدمه    12
۲-۲  بررسی روش تجزیه آدومیان متعارفی و بهبود یافته برای حل معادلات انتگرال خطی ۱۲
       2-2-1 حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم خطی به روش تجزیه آدومیان    12
       2-2-2 حل معادلات انتگرال ولترای نوع دوم خطی به روش تجزیه آدومیان    15
       2-2-3 حل معادلات انتگرال ولترای نوع اول خطی به روش تجزیه آدومیان    20
۲-۳  روش تجزیه آدومیان برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل خطی    21
       2-3-1 روش تجزیه آدومیان برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم خطی ۲۱
       2-3-2 روش تجزیه آدومیان برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای خطی    25
۲-۴ بررسی روش تجزیه آدومیان متعارفی و بهبود یافته برای حل معادلات انتگرال غیر خطی ۲۷
       2-4-1 حل معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی به روش تجزیه آدومیان    27
       2-4-2 حل معادلات انتگرال ولترای غیر خطی به روش تجزیه آدومیان    32
۲-۵ روش آشفتگی هموتوپی    34
       2-5-1 روش آشفتگی هموتوپی و حل چند مثال کاربردی از آن    34
فصل سوم: روش تحقیق    42
۳-۱  مقدمه    43
۳-۲  انواع معادلات براتو    43
۳- ۳ حل معادلات براتو به روش تجزیه آدومیان    44
۳-۴  حل معادلات براتو به روش آشفتگی هموتوپی

۵۰

فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده ها    58
۴-۱ مقدمه    59
۴-۲  روش آشفتگی هموتوپی برای معادله فیشر ۵۹
۴-۳  روش آشفتگی هموتوپی برای معادله دیفرانسیل جزیی کاواهارا    63
۴-۴  روش آشفتگی هموتوپی برای معادلات انتگرال- دیفرانسیل مراتب بالاتر    66
فصل پنجم:بحث ونتیجه گیری    73
نتیجه گیری و ارائه پیشنهادات    74
پیوست ها    75
برنامه۱    76
برنامه۲    76
برنامه۳    77
برنامه۴    78
برنامه۵    79
برنامه۶    79
برنامه۷    80
برنامه۸    81
برنامه۹    82

پیشگفتار:
 با گسترش علوم غیر خطی علاقه و نیاز به روش های تحلیلی و عددی روز به روز در حال افزایش است.از آن جایی که حل مسائل غیر خطی همواره مورد چالش است یافتن روشهایی که به وسیله آن بتوان مسائل غیر خطی را حل نمود از اهداف دانشمندان علوم و مهندسین است.از افرادی که در این خصوص تلاش مفید و موثری داشتند جورج آدومیان بود که در قالب یک مجموعه مدرن برای اولین بار در سال ۱۹۸۳ اثر خودش را به چاپ رساند.وی در کتاب خود به ارائه روش تجزیه جهت حل مسائل مقدار اولیه و مرزی با شرایط بسیار پیچیده و همچنین گونه ی جدیدی از روش تجزیه خویش پرداخت.
     در این پایان نامه ضمن آشنایی با ایده های مذکور به به کار گیری آن در مساله خاص مقدار مرزی  و مقدار اولیه براتو آشنا می شویم و جواب های آن را با روش مدرن و جدید آشفتگی هموتوپی مقایسه می کنیم. تلاش شده است به مزیت ها و چالش های این دو روش در فراوری تحقیق پرداخته گردد.به ویژه آن که محاسبات پیچیده آن با نرم افزار مطلب صورت پذیرفته است.
     این تلاش در چهار فصل تنظیم گردیده است.در فصل اول تحت عنوان معادلات انتگرال با گونه هایی از معادلات انتگرال آشنا می شویم در فصل دوم با دو روش موسوم به تجزیه آدومیان و روش آشفتگی هموتوپی آشنا می گردیم و سپس با به کار گیری آنها با معادلات آمده در فصل اول آشنا می گردیم.
در فصل سوم به معادلات براتو می پردازیم و به نحوه به کار گیری روش های مذکور برای این دسته از معادلات پرداخته می شود و در پایان با توجه به مزیت هایی که در روش آشفتگی هموتوپی ملاحظه گردید به به کار گیری آن برای دسته ای از معادلات معروف کاواهارا و فیشر اشاره می گردد.
:چکیده
در این پایان نامه ضمن آشنایی با معادلات انتگرال خطی و غیر خطی روش هایی را برای حل معادلات مذکور که معروف به روش تجزیه آدومیان و آشفتگی هموتوپی می باشند ارائه داده ایم.
همچنین تلاش گردیده ضمن مقایسه این دو روش به ویژه برای معادلات براتو در محیط نرم افزاری مطلب به مزیت ها و معایب به کار گیری آنها در حل معادلات انتگرال اعم از خطی و غیر خطی آشنا شویم.
۱-۱  مقدمه:
در این فصل تعریفی از معادلات انتگرال وتقسیم بندی معادلات ارائه می دهیم و همچنین با حل چند مثال انواع معادلات انتگرال را معرفی می کنیم.
۱-۲ معادله انتگرال
تعریف۱-۱ : یک معادله انتگرال معادله ای است که در آن تابع مجهول   حداقل زیر یک علامت انتگرال ظاهر می شود. یک نمونه از یک معادله انتگرال که در آن   تابع مجهولی است و باید معلوم شود به صورت زیر است:
(۱-۱)                                                                    
که در آن  هسته معادله انتگرال نامیده می شود و  و   حدود انتگرالگیری هستند.
در معادله (۱-۱) تابع مجهول  در زیر علامت انتگرال ظاهر شده است و در حالتهای  دیگر ممکن است در خارج از علامت انتگرال هم ظاهر شود.
     باید توجه کرد که هسته معادله یعنی  و تابع   از قبل معلوم هستند. هدف پیدا کردن تابع مجهول  است که در رابطه (۱-۱) صدق کند. برای این کار روشهای مختلفی به کار برده می شود.
معادلات انتگرال در مباحث بسیاری از علوم از قبیل فیزیک، بیولوژی، شیمی و مهندسی ظاهر می شوند.
در مثال زیر درباره نحوه تبدیل یک مسأله مقدار اولیه به یک معادله انتگرال بحث خواهیم کرد.
مثال ۱-۱ : مسأله مقدار اولیه زیر را در نظر می گیریم:
(۱-۲)                                                              
که در شرط اولیه زیر صدق کند:    
( ۱- ۳ )                                                                                                                                      
اگر از طرفین رابطه (۱-۲) نسبت به   در فاصله   انتگرال بگیریم خواهیم داشت:
                                                            ( 1- 4 )
و در نتیجه با انتگرال گرفتن از طرفین رابطه (۱-۲) و استفاده از شرط (۱-۳) داریم:
                                                                       ( 1- 5 )
از مقایسه طرفین روابط(۱-۵) و (۱-۱) در می یابیم که(۱-۵) یک معادله انتگرال با هسته  و تابع   است.
     همان طوری که در بالا هم اشاره شد، هدف اصلی ما تعیین تابع مجهول  است که در زیر علامت انتگرال نظیر معادله کلی(۱-۱) و معادله خاص(۱-۵) ظاهر شده است و در معادله انتگرال داده شده صدق می کند. به معادلات انتگرال(۱-۱) و (۱-۵) معادلات انتگرال خطی می گویند. زیرا که تابع   زیر علامت انتگرال به صورت خطی است یعنی توان یک دارد. اما اگر تابع  در زیر علامت انتگرال با توابع غیر خطی نظیر  یا   یا  و غیره تعویض شود، آنگاه معادله انتگرال را غیر خطی
می گویند.
۱-۳ تقسیم بندی معادلات انتگرال
متداولترین معادلات انتگرال خطی را می توان به دو گروه معادلات انتگرال فردهلم و معادلات انتگرال ولترا دسته بندی نمود.

اما معادلات انتگرال خطی و غیر خطی را می توان به پنج نوع دسته بندی کرد:
۱-    معادلات انتگرال فردهلم
۲-    معادلات انتگرال ولترا
۳-    معادلات انتگرال- دیفرانسیل
۴-    معادلات انتگرال منفرد
۵-    معادلات انتگرال فردهلم- ولترا
اکنون تعاریف و خواص عمده هر نوع را بررسی می کنیم:
۱-۳-۱ معادلات انتگرال خطی فردهلم
شکل استاندارد معادلات انتگرال خطی فردهلم که در آنها حد پایین و بالای انتگرال گیری به ترتیب اعداد ثابت a و b هستند به صورت زیر می باشد:
(۱-۷)                                                     
که در آن هسته معادله انتگرال،   و تابع  از قبل مشخص هستند و   هم یک پارامتر معلوم است. معادله(۱-۷) را خطی می گویند. زیرا که تابع مجهول  در زیر علامت انتگرال به صورت خطی ظاهر شده است یعنی توان  یک است. بر حسب اینکه  کدامیک از مقادیر زیر را انتخاب کند معادلات انتگرال فردهلم خطی به دو دسته تقسیم می شوند:
۱- زمانی که   معادله(۱-۷) به معادله زیر تبدیل می شود:                                             
 (1-8)                                                                    
این  معادله را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.
۲- زمانی که   معادله(۱-۷) به شکل زیر در خواهد آمد.                                              
(۱-۹)                                                                           

این معادله را معادله انتگرال فردهلم نوع دوم می گویند.
۱-۳-۲ معادلات انتگرال خطی ولترا
شکل متعارفی معادلات انتگرال خطی ولترا که در آنها حد پایین عدد ثابت و حد بالای انتگرال گیری متغیر باشد به صورت زیر است:
(۱-۱۰)                                                               
که در آن تابع مجهول یعنی  در زیر علامت به صورت خطی می باشد.
     باید توجه کرد که(۱-۱۰) را می توان به عنوان یک حالت خاص معادلات انتگرال فردهلم در نظر گرفت به طوری که هسته    ، برای   صفر فرض شود.
معادلات انتگرال ولترا را می توان با توجه به مقدار  به دو گروه تقسیم بندی کرد:
۱- در حالتی که   ، معادله( ۱-۱۰ ) به صورت زیر تبدیل خواهد شد:                              
(۱-۱۱)                                                                           .
این معادله را معادله انتگرال ولترای نوع اول می گویند.
۲- زمانی که   ، آنگاه معادله(۱-۱۰) به شکل زیر در خواهد آمد:                                   
(۱-۱۲)                                                                          
این معادله را معادله انتگرال ولترای نوع دوم می نامند.
با توجه به معادلات(۱-۷) تا (۱-۱۲) می توان نتیجه گیری های زیر را ارائه نمود:
۱- « ساختمان معادلات فردهلم و ولترا »
    در معادلات انتگرال ولترا و فردهلم خطی نوع اول تابع مجهول  به طور خطی زیر علامت انتگرال ظاهر می شود.

اما در مورد معادلات انتگرال ولترا و فردهلم خطی نوع دوم، تابع مجهول هم در زیر علامت انتگرال و هم در خارج از علامت انتگرال به صورت خطی ظاهر می شود.
۲- « حدود انتگرال گیری »
     در معادلات انتگرال فردهلم، انتگرال گیری روی یک فاصله متناهی با حدود ثابت انجام می شود. اما در معادلات انتگرال ولترا حداقل یکی از حدود فاصله انتگرالگیری متغیر است و معمولاً حد بالای انتگرالگیری به صورت متغیر ظاهر می شود.
۳- « خاصیت خطی »
    تابع مجهول  در معادله انتگرال ولترا و فردهلم در زیر علامت انتگرال با توان یک ظاهر می شود اما زمانی که به جای  عبارتی مانند  داشته باشیم، معادلات انتگرال غیرخطی فردهلم و ولترا خواهیم داشت.
در زیر مثالهایی از معادلات انتگرال غیر خطی آورده شده است:
(۱-۱۳)                                                                       
(۱-۱۴)                                                                        
(۱-۱۵)                                                                    
در این مثالها به جای  به ترتیب   ،  و   آمده است.
۴- « منشأ ظهور معادلات انتگرال »
     باید به این نکته مهم توجه کرد که معادلات انتگرال در بسیاری از مسائل مهندسی، فیزیک، شیمی و بیولوژی ظاهر می شود. البته معادلات انتگرال به عنوان نمایش جواب معادلات دیفرانسیل هم به کار می روند. به طوری که اگر معادلات دیفرانسیل مورد نظر به صورت یک مسأله مقدار مرزی  باشد آنگاه معادله انتگرالی که ظاهر می شود از نوع فردهلم بوده و اگر معادله دیفرانسیل مورد نظر در قالب یک مسأله مقدار اولیه باشد آنگاه معادله حاصل یک معادله انتگرال ولترا خواهد بود.[۱]
بر حسب اینکه معادله انتگرال از چه نوع مسأله ای ظاهر می شود روش ها و ایده های مختلفی برای تعیین جواب معادله انتگرال به کار برده می شود.
۵- « خاصیت همگن بودن »
      اگر در معادله انتگرال فردهلم نوع دوم(۱-۹) و معادله انتگرال ولترای نوع دوم
(۱-۱۲)، شرط   برقرار باشد، آنگاه معادله حاصل را یک معادله انتگرال همگن می نامند. در غیر این صورت معادله مورد نظر را یک معادله انتگرال غیر همگن می گویند.
۶- « رفتار تکین معادله انتگرال »
     یک معادله انتگرال را منفرد می نامند اگر انتگرال موجود در معادله ناسره باشد این حالت معمولاً زمانی رخ می دهد که فاصله انتگرالگیری نامتناهی باشد یا اینکه هسته معادله در یک یا تعداد بیشتری نقاط از بازه مورد نظر یعنی   بی کران باشد.
در ضمن دسته دیگری از معادلات مهم که به هر دو دسته از معادلات انتگرال ولترا و فردهلم مربوط
می شود، معادلات انتگرال- دیفرانسیل می باشند که در قسمت بعد به معرفی آنها می پردازیم.
۱-۳-۳ معادلات انتگرال- دیفرانسیل
ولترا در اوایل ۱۹۰۰ در حال مطالعه موضوع رشد جمعیت بود که با معادلات انتگرال- دیفرانسیل مواجه شد. در این گونه معادلات تابع مجهول  در دو طرف ظاهر می شود. در یک طرف زیر علامت انتگرال و در طرف دیگر به عنوان یک مشتق معمولی نمایان می شود.
    تعدادی از پدیده ها در فیزیک و بیولوژی در قالب این نوع معادلات انتگرال- دیفرانسیل ظاهر می شوند. البته این گونه معادلات در هنگام تبدیل یک معادله دیفرانسیل به یک معادله انتگرال هم نمایان می گردند.
در زیر چند مثال از معادلات انتگرال- دیفرانسیل آورده شده است:
(۱-۱۶)                                   

(۱-۱۷)                                                     
(۱-۱۸)                                                     
معادلات انتگرال (۱-۱۶) و (۱-۱۷) را معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترا و معادله انتگرال (۱-۱۸) را معادله انتگرال دیفرانسیل فردهلم می نامند. این تقسیم بندی بر اساس حدود  انتگرالگیری انجام شده است.
۱-۳-۴ معادلات انتگرال منفرد
معادله انتگرال از نوع اول
( ۱-۱۹ )                                                                           
یا از نوع دوم
(۱-۲۰)                                                                   
را که در آنها حد پایین یا حد بالا یا هر دو حد انتگرالگیری نامتناهی و یا هسته معادلات انتگرال (۱-۱۹) و (۱-۲۰) در یک نقطه یا در نقاط بیشتری از دامنه انتگرالگیری نامتناهی باشد، معادلات انتگرال منفرد
می نامند.
    در زیر چند مثال از معادلات انتگرال منفرد آورده شده است که علت منفرد بودن آنها به نامتناهی بودن بازه انتگرالگیری مربوط می باشد: 
 (1-21)                                                                     
(۱-۲۲)                                                                      
(۱-۲۳)                                                                      
علت منفرد نامیده شدن معادلات انتگرال زیر این است که هسته  در نقطه   نامتناهی می شود.
                                                  (1-24)                                
(۱-۲۵)                                                          
(۱-۲۶)                                                                  
معادلات انتگرال شبیه به معادلات(۱-۲۴) و (۱-۲۵) را به ترتیب معادله انتگرال آبل و معادله انتگرال آبل تعمیم یافته می نامند.
این معادلات انتگرال منفرد ابتدا توسط یک ریاضیدان نروژی در سال ۱۸۲۳ بنام آبل معرفی شدند. معادلات انتگرال منفرد مشابه معادله(۱-۲۶) را معادله انتگرال ولترا نوع دوم منفرد به طور ضعیف می نامند. این گونه معادلات در کاربردهای مهندسی و فیزیک، نظیر انتقال گرما، رشد کریستالها و مکانیک سیالات ظاهر
می شوند.
اکنون به بررسی چند مثال برای آشنایی با طبقه بندی معادلات انتگرال می پردازیم.
مثال ۱-۲ : معادله انتگرال زیر را از نظر فردهلم یا ولترا بودن و از لحاظ خطی یا غیر خطی بودن و همچنین از جنبه همگن یا غیر همگن بودن دسته بندی کنید:
(۱-۲۷)                                                                       
با توجه به حد بالای انتگرال یعنی نشان دهنده آن است که معادله ولتراست و از نوع دوم هست. معادله خطی می باشد زیرا تابع مجهول  در زیر علامت انتگرال به صورت خطی ظاهر شده است. به علاوه حضور تابع   نشان می دهد که معادله غیر همگن است.
۱-۳-۵ معادلات انتگرال فردهلم- ولترا
معادله انتگرال فردهلم-ولترا معادله ای است که تابع مجهول زیر دو نماد انتگرال که در یکی حدود ثابت است قرار گیرد? معادله زیر از این نوع می باشد:[۲]
(۱-۲۹)
مثال۱-۳: مثال زیر یک نمونه از این نوع معادلات….

منابع:
[۱]   وزواز ?  عبدالمجید ?  معادلات انتگرال?  تهران?  ترجمه مهدی دهقان.
[۲]  حسین زاده ? حسن?  (1381)?  سیری در ریاضیات مهندسی?  بابلسر? (۱۷۱) ?  انتشارات                        دانشگاه مازندران.
[۳]    Wazwaz AM, A first course in Integral Equation.New Jersy, 1997

[۴]    J.H.He.Homotopy Perturbation Method for solving Boundary  
         value Problems, Physics letters A, 2006,350,(35)87-88              

[۵]    J.H.He.A Coupling Method of a Homotopy technique and a
        Perturbation technique For Nonlinear Mechanics, 2000, 35(1)
       
[۶]    Wazwaz.AM,Adomian Decomposition Method for a Reliable
        Treatment of the Bratu-type Equations, Applied Mathematics and 
        Computation(166)(2005)652-663

[۷]    Wazwaz.AM.A Reliable Algorithm for obtaining positive solutions
        for Nonlinear Boundary value problems.Appl.Math.comput.      
        (41)(2001)1237-1244      
[۸]    M.Matinfar,M.Ghanbari.Solving the Fisher? s Equation by means
        of variational  iteration method,Int.J.contemp.Math.sciences,
        vol 4,No.7,(2009)343-348

[۹]    Wazwaz.AM,A Gorguis, An analytic study of Fisher? s Equation by
        using Adomian Decomposition Method.Appl.Math.Comput.
        154(2004)609-620

[۱۰]    M.Matinfar,M.Ghanbari,F.Yahyaie.Homotopy Perturbation Method for   
       the Fisher s Equation.40th Annual Irainian Mathematic Conference,  
       sharif university of  technology, Tehran, Iran

[۱۱]    M.Matinfar,H.hossseinzadeh and M.Ghanbari.Exact and
        Numerical solution of Kawahara Equation by the variational
        Iteration Method.Applied Mathematical  sciences,2008,vol.2,No.43

[۱۲]  Wazwaz.AM.A Reliable Algorithm for solving Boundary value
        Problems for High Order Integro-Differential Equations.  Appl.Math.  
        Comput . 118(2001)327-342

[۱۳]  Noor.AM.A Reliable Approach for Higher-Order Integro-Differential   
       Equations.vol  3, No 2.(2008)188-199