مقاله متغیر تصادفی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

  مقاله متغیر تصادفی دارای ۱۸ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله متغیر تصادفی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله متغیر تصادفی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله متغیر تصادفی :

متغیر تصادفی

تابعی است از فضای نمونه به مجموعه اعداد حقیقی که به هر پیشامد ساده از فضای نمونه یک عدد حقیقی نسبت دهد.
تکیه گاه یک متغیر تصادفی:

مجموعه مقادیری که یک متغیر تصادفی اخذ می کند (برد متغیر تصادفی) را تکیه گاه یک متغیر تصادفی می گوییم.
متغیرهای تصادفی پیوسته و گسسته:

متغیر تصادفی پیوسته:
اگر تکیه گاه یک متغیر تصادفی به صورت یک فاصله از مجموعه اعداد حقیقی باشد متغیر متغیر تصادفی را از نوع گسسته گوییم.
متغیر تصادفی گسسته:

اگر تکیه گاه یک متغیر تصادفی به صورت یک مجموعه متتاهی یا یک مجموعه متناهی شما را باشد، متغیر تصادفی را از نوع گسسته گوییم.
مثال ۱: سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا برای اولین بار شیر بیاید. اگر متغیر تصادفی x را برابر پیشامد زوج بودن شماره پرتاب های لازم تا مشاهده اولین شیر درنظر بگیریم، تکیه گاه و نوع متغیر تصادفی x را مشخص کنید.

نوع متغیر، تصادفی گسسته است.
مثال ۲: از داخل دایره ای به شعاع R نقطه ای به تصادف انتخاب می کنیم و متغیر تصادفی y را برابر فاصله انتخابی تا مرکز دایره درنظر می گیریم. تکیه گاه و نوع این متغیر تصادفی را بیابید.

نوع آن پیوسته است.

توابع تصادفی در حالت پیوسته و گسسته
• تابع احتمال در حالت گسسته: تابعی که توزیع احتمال را روی تکیه گاه یک متغیر تصادفی مشخص می کند را تابع احتمال متغیر تصادفی گسسته گوییم که معمولاً با علامت نمایش می دهیم.
ویژگی های تابع احتمال گسسته
۱
۲
مثال ۳: تابع زیر را درنظر بگیرید:

الف) مقدار k را چنان بیابید که تابع احتمال متغیر تصادفی گسسته y باشد.
ب) احتمالات زیر را بیابید.

الف)

ب)

مثال ۴: ظرفی محتوی ۲ مهره سیاه و ۳ مهره سفید است. از داخل ظرف ۳ مهره انتخاب می کنیم. اگر X نشان دهنده تعداد مهره های سفید در بین ۳ مهره انتخابی باشد، تابع چگالی احتمال X را در حالت های زیر بیابید.
الف) مهره ها با جایگزینی انتخاب شوند.
ب) مهره ها با هم خارج شوند.
الف:

ب:

• تابع احتمال در حالت پیوسته: تابعی که چگونگی توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی پیوسته X روی تکیه گاه آن مشخص می کند را تابع احتمال متغیر تصادفی پیوسته X گوییم که آن را با علامت نمایش می دهیم.
ویژگی های تابع احتمال پیوسته
۱
۲
نکته: در صورت مشخص بودن تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی x، آنگاه احتمال اینکه X بین دو مقدار a, b قرار گیرد برابر است با:

مثال ۵: متغیر تصادفی x دارای تابع چگالی احتمال زیر می باشد. مطلوب است:
الف) مقدار K.
ب) احتمال پیشامد را بر حسب a.
ج) احتمال پیشامد .

الف:

ب:

ج:

مثال ۶: متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است. مقدار k را بیابید.

تابع توزیع
برای هر عدد حقیقی x فاصله نیم بازی به صورت و متغیر تصادفی x را درنظر می گیریم. احتمال اینکه X در این فاصله نیم باز باشد، برابر است با:

این احتمال یک تابع نقطه ای از x است که آن را با نمایش می دهیم و تابع توزیع X می نامیم.
تابع توزیع پیوسته و گسسته
تعریف تابع توزیع گسسته:
اگر x یک متغیر تصادفی گسسته روی یک مدل احتمال باشد برای هر داریم:

تعریف تابع توزیع پیوسته:
اگر x یک متغیر تصادفی پیوسته باشد، آنگاه تابع توزیه برابر است با:

با توجه به تعریف تابع توزیع داریم:

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته با تابع توزیع باشد، آنگاه داریم:

خواص تابع توزیع:
۱ برای هر داریم:

۲ یک تابع غیرنزولی است، یعنی:

۳

۴ برای هر عدد حقیقی تابع از راست پیوسته است، یعنی:

مثال ۷: متغیر تصادفی x دارای تابع احتمال چگالی زیر است:

الف) مقدار k را بیابید.
ب) تابع توزیع آن را بدست آورید.

مثال ۸: تابع توزیع در حالت پیوسته:
نقطه M رابه تصادف داخل دایره ای (c) به شعاع ۴ و مرکز o انتخاب می کنیم. فرض کنید متغیر تصادفی x اندازه پاره خط oM باشد. تابع توزیع X را بیابید.
X می تواند یکی از اعداد فاصله نیم باز را بپذیرد.

مساحت دایره CX
مساحت دایره C

مثال ۹: تابع توزیع در حالت گسسته: یک کلاس ۱۱ شاگرد دارد. ۵ نفر از این شاگردان ترم ۳ کامپیوتر و ۶ نفر دیگر ترم ۵ عمران هستند. از این کلاس ۲ شاگرد به تصادف و بدون جایگذاری انتخاب می کنیم. اگر متغیر تصادفی x میانگین ترم ۲ شاگرد انتخابی باشد:
الف) تابع احتمال و تابع توزیع متغیر تصادفی x را بیابید.
ب) احتمال را بیابید.
حل.

الف:

ب:

توزیع تابع احتمالات دو متغیره
اگر y, x دو متغیر تصادفی باشند، توزیع احتمال برای وقوع همزمان آنها به صورت تابع دو متغیره نشان داده می شود و معمولاً آنرا توزیع احتمال توام Y, X گویند.
اگر y, x دو متغیر تصادفی گسسته باشند، یعنی تابع به فرم زیر تعریف می شود.

که نتایج Y, X به صورت همزمان اتفاق می افتد.
تعریف: تابع را یک تابع احتمال توام متغیر تصادفی گسسته y, x گویند هرگاه داشته باشیم:
۱ به ازای هر y, x:
۲.
نکته: برای محاسبه احتمال قرار گرفتن y, x در یک ناحیه A در صفحه XY به صورت زیر عمل می کنیم:

توزیع احتمالات حاشیه ای:
با داشتن تابع احتمال توام متغیر تصادفی y, x می توان تابع احتمال X به تنهایی و Y به تنهایی را محاسبه کرد که به آنها توابع احتمال حاشیه ای گویند.
تابع احتمال حاشیه ای y, x در متغیرهای تصادفی گسسته برابر است با:

متغیرهای تصادفی مستقل:
اگر توزیع احتمال توام متغیر تصادفی گسسته (X,Y) در (x,y) باشند و به ترتیب توزیع های حاشیه ای Y, X به ازای y, x باشند، دو متغیر y, x را مستقل گویند اگر و تنها اگر به ازای تمام مقادیر (x,y) داشته باشیم:

مثال ۱۰: از داخل جعبه‌ای که شامل ۳ توپ آبی، ۲ توپ قرمز و ۴ توپ سبز است، به تصادف یک به یک و بدون جایگذاری انتخاب می‌کنیم. اگر x توپ‌های آبی و y توپ‌های قرمز باشند، مطلوب است:
الف) تابع احتمال توام و حاشیه‌ای y, x.
ب)
ج) آیا دو متغیر y, x مستقلند؟

حل.
الف:

با محاسبه احتمالات مربوط به نقاط دیگر جدول توزیع احتمالات توام X, Y به صورت زیر بدست می‌آید:
X
Y 0 1 2 fyy

۱

تابع احتمالات توام x, y را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت: