تحقیق در مورد سپیده دم ریاضیات جدید

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 تحقیق در مورد سپیده دم ریاضیات جدید دارای ۴۳ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد تحقیق در مورد سپیده دم ریاضیات جدید  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی تحقیق در مورد سپیده دم ریاضیات جدید،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن تحقیق در مورد سپیده دم ریاضیات جدید :

سپیده دم ریاضیات جدید

لگاریتم:
همچنانکه امروزه می دانیم قدرت لگاریتم به عنوان یک ابزار محاسباتی در این حقیقت نهفته است که ضرب و تقسیم به کمک آن به اعمال ساده تر جمع و تفریق تحویل می شوند.
نشانه ای از این ایده در فرمول که در زمان نپر کاملاً شناخته شده بوده پیدا شد و کاملاً محتمل است که خط فکری نپر با این فرمول شروع شده است چه در غیر این صورت تعیین محدود کردن لگاریتمها به لگاریتم سینوس زوایا توسط وی مشکل است. نپر حداقل به مدت ۲۰ سال بر روی نظریه خودکار کار کرد و منشاء اندیشه هر چه باشد، تعریف نهایی او از لگاریتم چنین است پاره خطی مانند AB و نیمه خطی مانند DE، به صورتی که در شکل ۱ نشان داده شده در نظر بگیرید.
فرض کنید که نقاط F,C همزمان بترتیب از نقاط B,A در امتداد این خطوط با سرعت ادامه واحدی شروع به حرکت نمایند. فرض کنید C با سرعتی که از نظر عدد برابر با فاصله CB است حرکت کند و سرعت حرکت F یکنواخت باشد در این صورت نپر DF را به عنوان لگاریتم CB تعریف می کند یعنی، با قراردادن CB=y , DF=x.

شکل ۱
X=Naplogy
برای احتراز از مزاحمت کسرها نپر طول AB را به اختیار کرد زیرا بهترین جداول سینوسی که در دسترس وی بود تا هفت رقم اعشار بسط پیدا می کردند. از تعریف نپر و از طریق استفاده از معلوماتی که در دسترس نپر نبود چنین نتیجه می شود که

لذا این بیان مکرر گفته شده که لگاریتمهای نپری لگاریتم های طبیعی هستند در و

اقع بی اساس است. مشاهده می شود که لگاریتم نپری با افزایش عدد، کاهش می یابد. بر خلاف آنچه در مورد لگاریتم های طبیعی اتفاق می افتد بعلاوه آشکار می شود که، در دوره های مساوی متوالی از زمان، y مطابق یک تصاعد هندسی کاهش پیدا می کند در حالی که x مطابق یک تصاعد حسابی افزایش می یابد.
بنابراین، اصل بینانی دستگاه لگاریتم ها یعنی ارتباط بن یک تصاعد هندسی و یک تصاعد حسابی را داریم حال، برای مثال نتیجه می شود که اگر آنگاه:
Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd
که یکی از نتایج متعددی است که به وسیله ی نپر برقرار شده است.
نپر بحث خود درباری لگاریتم ها را رد ۱۴۱۳ در رساله ای تحت عنوان شرح قانون شگف انگیز لگاریتم ها منتشر کرد. این اثر حاوی جدولی است که لگاریتم سینوس زوایا را برای دقیقه های متوالی یک کمان می دهد رساله شرح علاقه فوری و گسترده ای را بر انگیخت و در سال بعد از انتشار آن هنری بریگز (۱۵۶۱-۱۶۳۱) استاده هندسه در کالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آکسفورد به ادینبورو سفر کرد تا مراتب احترام خود را به مخترع کبیر لگاریتم ها ادامه کند. در ضمن این ملاقات بود که نپر و بریگنیر به این توافق رسیدند که جداوال در چنان تبدیل که لگاریتم ۱ ماه و لگاریتم ۱۰ هر توان مناسبی از ۱۰ می شود مفیدتر خواهد بود بدین ترتیب لگاریتم امروزی بریگزی یا متعارفی تکوین یافت این گونه لگاریتم ها، که اساساً لگاریتم های در مبنای ۱۰ می باشند کارآیی برتر خود را در محاسبات عددی مرهون این حقیقت هستند که دستگاه شمار مانیز در مبنای ۱۰ است. برای دستگاه شماری که پایه دیگری مانند b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددی مناسبتر خواهد بود که جداول لگاریتم نیز در مبنای b باشند.
بریگز همه ی توان خود را در راه ساختن جدولی بر پایه طرح جدید وقف کرد و در ۱۶۲۴ حساب لگاریتم خود را که شامل یک جدول ۱۴ رقمی از اعداد از ۱ تا ۲۰۰۰۰ و از ۹۰۰۰۰ تا ۱۰۰۰۰۰ بود منتشر کرد. مشکاف از ۲۰۰۰۰ تا ۵۰۰۰۰ بعداً به کمک آدریان ولاک (۱۶۰۰-۱۶۶۶) کتاب فروش و ناشر هلندی پر شد در ۱۶۲۰ ادمونه گانته (۱۵۸۱-۱۶۲۶) یکی از همکاران بریگز، یک جدول هفت رقمی از لگاریتم های متعارفی سینوس و تانژانت زوایا برای فواصل قوسی یک دقیقه منتشر نمود. گانته بود که واژه های کسینوس و کتانژانت را ابداع کرد، مهندسان وی را به خاطر «زنجیر گانته» شناختند.
بریگز و ولاک چهار جدول بنیادی لگاریتم ها را منتشر نمودند که تنها در همین اواخر وقتی، در بین ۱۹۲۴ و ۱۹۴۹ جداوال جامع ۲۰ رقمی در انگلستان به عنوان جزئی از جشن سیصدمین سال کشف لگاریتم محاسبه شد کنار گذاشته شدند.
کلمه لگاریتم به معنی «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنکه بدواً از اصطلاح عدد ساختگی استفاده کرد اتخاذ گردید. بریگز کلمه ی مانیتس را که کلمه لاتینی از ریشه اتروسکی است، معمول کرد که در اصل به معنی «جمع» یا «پارسنگ» بوده و در ولاک به کار افت عجیب است که در جدول اولیه لگاریتم های متعارفی رسم این بود که مانیتس را نیز مانند مفسر چاپ کنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود که رسم فعلی چاپ، مانتیسها به تنهایی، متداول

گردید.
اختراع شگفت انگیز پز بگرمی در سرتاسر اروپا مورد استقبال واقع شد. در نجوم بویژه زبان برای چنان اکتشافی بسیار آماده بود بنابه اظهار لاپلاس، اختراع لگاریتم ها «با کوتاه کردن زحمات، عمر منجمین را دو برابر کرد» بونانتوراکاوالیری تلاش زیادی برای متداول نمودن لگاریتم ها در ایتالیا به عمل آورد. خدمت مشابهی را یوهان کپکر در آلمان و ادموند وینگبیت درفرانسه انجام دادند. وینگیبت، که سالها زیادی را در فرانسه گذارند به صورت برجسته ترین نویسنده انگلیسی کتابهای درسی در حساب مقدماتی درآمد.
تنها رقیب نپر در پیشقدمی در اختراع لگاریتم یوبت بورگی (۱۵۵۲-۱۶۳۲) ابزار ساز سویسی بود بورگی جدولی از لگاریتم های را مستقل از نپر به تصور درآورده و آنرا ساخت و نتایج کارهای خود را در ۱۶۲۰ شش سال بعد از اینکه نپر کشف خود را به جهانیان اعلام کرده بود منتشر نمود. گر چه هر دوی آنان ایده لگاریتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن پروانده بود عموماً اعتقاد بر این است که این ایده اول بار به ذهن نپر راه یافته بود. روش نپر هندسی بود در حالی که روش بورگی جبری بود امروزه لگاریتم به عنوان یک نما تلقی می شود مثلاً اگر را لگاریتم b گوییم. از این تعریف، قوانین لگاریتم بلافاصله پیش از به کاربردن نماهات. در سال ۱۹۷۱ نیکاراکوئه یک سری تمبر پستی در اکرام از «ده تا از مهمترین فرمولهای ریاضی» دنیا منتشر نمود. طرح هر تمبر یک فرمول ویژه تاریخی همراه با یک تصویر است در پشت آن گفتار کوتاهی به زبان اسپانیایی در رابطه با اهمیت این فرمول آمده است. یکی از تمبرها به کشف لگاریتم به دت نپر اختصاص داده شده است. برای دانشمندان «ریاضیدانان باید اسباب خوشحالی باشد که فرمولهای خود را در این گونه مورد بزرگداشت ببیند. زیرا این فرمولها سهمی بس بیشتر از کارهای شاهان و فرماندهان نظامی در پیشرفت بشریت داشته اند و تمبرهایی پستی اغلب سیمای اینان را در بر دارد.
سالها بود که محاسبه لگارتیم در دروس ریاضی اواخر دبیرستان یا اوایل کالج درس داده می شود و همچنین طی سالها خط کش محاسبه لگاریتمی که در قالب چرمی زیبایی از کمر آویخته می شد. نشان تشخیص دانشجویان مهندسی دانشگاه ها بود. با این حال، امروزه با ظهور ماشین حسابهای جیبی کوچک جالب و با قیمت های رو به کاهش، کسی استفاده از جدول لگاریتم یا خط کش محاسبه را در محاسبات عاقلانه نخواهد داشت. تدریس لگاریتمی به عنوان یک ریشه محاسبه از مدارس رفت بر می بندد، سازندگان مشهور خط کش ها محاسبه دقیق به قطع تولید پرداخته اند و کتابها دستیهای جداول ریاضی مهم و فکر کنار گذاشتن جداول لگاریتمی اند.
محصولات اختراع برزگ نیز بدل به اشیایی در خود موزه ها شده اند مع هذا، تابع لگاریتمی به این دلیل ساده که تغییرات لگاریتمی و نمایی مرز اجزاء حیاتی طبیعت و آنالیز است هرگز از بین نخواهد رفت در نتیجه مطالعه خواص توابع لگاریتمی و معکوس آن تابع نمایی همواره بخش مهمی از آموز ریاضی باقی خواهند ماند.

معادله های مسئله ای
الف: با استفاده از قواهد آشنای نماها، خواص مفید زیرین را برای لگاریتم ها ثابت کنید:

ب: نشان دهید که
۱- (با این فرمول می توانیم لگاریتم در پایه b را، وقتی که یک جدول لگاریتم در مبنای a در اختیار داشته باشیم، حساب کنیم.

ج: از گرفتن جذر ۱۰، سپس چذر نتیجه بدست آمده ادامه این عمل به همین مقیاس، می توان جدول زیر را ساخت:

با این جدول می توانیم لگاریتم های طبیعی هر عدد بین ۱ و ۱۰ و بدین ترتیب با جرح و تعدیل مفسر لگاریتم هر عدد مثبت دلخواه را حساب کنیم. مثلاً فرض کنید N عدد دلخواهی بین ۱ و ۱۰ باشد. N را به بزرگترین عدد موجود در جدول که از N بزرگتر نیست، تقسیم کنید فرض کنید که مقسوم علیه و خارج قسمت N1 باشد. در این صورت باید به همین سوال عمل کنید و فرآیند را ادامه دهید تا

بدست آید. فرض کنید که عمل را زمانی متوقف کنیم که Nn را، کسری با پیکرهای معنی دار فقط از رقم ششم اعشاری به بعد باشد در این صورت تا پنج پیکر اعشاری داریم:
این شیوه به روش ریشه ها برای محاسبه لگاریتم ها موسوم است
را با این شیوه حساب می کنند.

حسابان و مفاهیم وابسته به آن
مقدمه: دیده ایم که ریاضیات جدید و دامنه دار زیادی در تحقیقات ریاضی در قرن فهدم گشوده شدند که این دوره را به صورت دوره پرباری در بسط ریاضیات درآورده اند. بی چون و چرا مهمترین دستاورد ریاضی این دوره ابلاغ حسابان در اواخر قرن توسط آیزک نیوتون و گوتفرید ویلهم لایبنتیز بود. با این ابداع ریاضیات خلاق به طور کلی به درجه پیشرفته ای می رسد و تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساً با آن پایان می یابد. فصل حاضر به رح کوتاهی از مبادی و بسط مفاهیم حسابان اختصاص می یابد، مفاهیمی که چنان کاربرد وسیعی دارندو چنان تاثیری بر دنیای جدید داشته اند که شاید گفتنش درست باشد که بدون آگاهی از آنها انسان بزحمت می تواند ادعای داشتن تحصیلات درست حسابی را داشته باشد. جالب توجه است که بر خلاف ترتیب متداول در ارائه مطاب در دروس مقدماتی دانشگاهی فعلی، که با مشتقگیری شر وع و بعدا به انتگرال گیری می پردازیم مفاهیم حساب انتگرال از لحاظ تاریخی قبل از مفاهیم حساب دیفرانسیل به وجود آمده اند. مفهوم انتگرال گیری ابتدا در نقشی که در یک فرآیند مجموعیابی در رابطه با یافتن بعضی مساحات، اجحام، و طول قوسها داشت، پدیدار شد بعدها، مشتقگیری در رابطه به مسائل مربوط به مماس به منحنیها و سوالاتی درباره ماکزیمم و مینیمومم توابع به وجود آمد. و حتی خیلی بعد از آن بود که ارتباط انتگرال گیری با مشتقگیری به عنوان اعمال معکوس یکدیگر مورد توجه قرار گرفت.
گر چه قسمت عمده گفتار ما به قرن هفدهم مربوط می شود لازم است جهت آغاز مطلب به یونان باستان و قرن پنجم پیش از میلاد بازگردیم.

پارادوکس های زنون
آیا باید پذیرفت که کمیتی بینهایت بار تقسیم پذیر است یا اینکه این کمیت از عده بسیار زیادی اجزای اتمی تقسیم ناپذیر تشیکل شده است؟ فرض اول به نظر بسیاری منطقی تر جلوه می کند اما مفید بودن فرض دوم پیدایش کشفیات بسیاری موجب می شودکه نامعقول بودن ظارهی آن تا حدی از بین می رود. شواهدی در دست است که در یونان باستان، مکاتب استدلال ریاضی بر مبنای هر یک از دو فرض بالا به وجود آمده است.
برخی از اشکالهای منطقی که با هر یک از دو فرض پیش می آیند به طور شگفت انگیزی در قرن پنجم ق . م به کمک چهار پارادوکس که توسط فیلسوف الیایی زنون (حدود ۴۵۰ ق. م) ابداع شدند آشکار شدند این پارادوکسها که تاثیر شگرفی در ریاضیات داشتند بیان می کنند که خواه فرض کنیم که کمیتی بی نهایت بار تقسیم پذیر است یا از عده بسیار زیادی اجزای اتمی ساخته شده است حرکت غیر ممکن است ما ماهیت این پارادوکسها را با دو پارادوکس زیر روشن می کنیم
دیکتومی: اگر پاره خط مستقیمی بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد آنگاه حرکت غیر ممکن است زیرا برای پیمودن طول پاره خط ابتدا لازم است که به نقطه وسط پاره خط برسیم و برای این کار لازم است تا غیر النهایه نتیجه می شود که حرکت را حتی نمی توان شروع کرد.
تیر: اگر زمان متشکل از لحظه های زیر تقسیم ناپذیر باشد آنگاه یک تیر در حال حرکت همیشه در یک جاست، زیرا در هر لحظه تیر در یک وضعیت ثابت است. چون این مطلب در مورد هر لحظه درست است نتیجه می شود که تیر اصلاً حرکت نمی کند.
توجیه های زیادی از پارادوکسهای زنون به عمل آمده است و نشان دادن این امر مشکل نیست که این پارادوکسها با این باورهای شهودی که مجموع تعداد بینهایتی از کمیت های مثبت، کمیتی بسیار بزرگ است حتی اگر هر یک از کمیت ها فوق العاده کوچک باشد و اینکه مجمو

ع عده ای که از کمیت های متناهی یا نامتناهی با بعد صفر است درتضاد قرار دارند. انگیزه ی واقعی این پارادوکسها هر چه که باشد اثر آنها حذف بینهایت کوچک از هندسه برهانی یونانی بود.

روش افضای ائودوکسوس
اولین مسائلی که در تاریخ حسابان پیش می آیند، به محاسبه مساحتها احجام و طول قوسها مربوط اند و در مطالعه ی آنها به شواهدی از دو فرض قابل قسمت بدون کمیت ها که در بالا به آن اشاره کردیم، بر می خوریم. یکی از قدیمی ترین کارهای مهم در زمینه مسئله تربیع دایره کار آنتیفیون سوفسطایی (حدود ۴۳۰ ق . م) است که یکی از معاصرترین سقرط بود. گفته اند که آنتیفون این فکر را قوت بخشیده است که با موالیا دو برابر کردن عده اضلاع یک چند ضلعی چون می توان مربعی از نظر مساحت ساخت برابر با چند ضلعی مفروض ساخت در این صورت ساختن مربعی برابر با یک دایره مسیر نخواهد بود. این استدلال به دلیل اینکه اصل تقسیم پذیر بودن نامحدود کمیتها را نقص می کرد و اینکه به موجب اصل فوق در فرآیند آنتیفیون همه مساحت دایره به کار می رود بلافاصله مورد انتقاد قرار گرفت با این حال اظهار جسورانه آنییفیون نقطه روش افتای مشهور یونانیون را در بر داشت.
روش افنا معمولاً به ائودوکسوس (حدود ۳۷۰ ق . م) منسوب می شود و شاید بتوان آن را پاسخ مکتب افلاطونی به پارادوکسهای زنون مصوب کرد. درا ین روش تقسیم پذیر بودن نامتناهی کمیتها پذیرفته می شود. پایه آن گزاره زیر است اگر از کمیت دلخواهی کمیتی تا کمتر از نصف آن کسر شود از باقیمانده قسمت دیگری که از نصف آن کمتر نیست برداشته شود و این عمل به همین قیاس ادامه یابد در نهایت کمیتی باقی می ماند که از هر کمیت مفروض از همان جنس کمتر خواهد بود می خواهیم روش اخنا را برای اثبات اینکه اگر مساحت دو دایره به قطرهای باشند آنگاه:

به کار بریم
ابتدا، به کمک گزاره اساسی فوق نشان می دهیم که تفاضل بین مساحت یک دایره و یک چند ضلعی معانی را می توان تا هر اندازه مورد نظر کوچک کرد فرض کنید AB در شکل ۲ ضلعی از یک چند ضلعی منتظم محاطی باشد و فرض کنید M نقطه وسط قوس AB باشد چون مساحت مثلث AMB نصف مساحت مستطیل ARSB و بنابراین بزرگ تر نصف مساحت نقطه دایره AMB است. نتیجه می شود که با دو برابر کردن تعداد اضلاع به قدر کافی می توانیم تفاضل مساحات بین دایره و چند ضلعی را از مساحت هر اندازه کوچک کوچکتر نماییم حال به قضیه فوق باز می گردیم و فرض می کنیم که به جای تساوی داشته باشیم

شکل ۲

در این صورت می توانیم در دایره اول چند ضلعی منتظمی معاط کنیم که تفاوت مساحت آن با به قدری کوچک باشد که

فرض کنید چند ضلعی منتظمی متشابه با ولی محاط در دایره دوم باشد در این صورت بنابر قضیه معروف درباره چند ضلعیها متشابه:

نتیجه می شود که یا که غیر ممکن است، چون مساحت یک چند ضلعی منتظم نمی تواند بیشتر از مساحت دایره محیطی آن باش به طور مشابه می توانیم نشان دهیم که

غیر ممکن است در نتیجه به موجب این مراحل برهان خلف مضاعف، قضیه ثابت می شود بنابراین اگر A مساحت و d قطر یک دایره باشد داریم که در آن k (که در واقع است) مقداری است ثابت که برای کلیه دایره ها یکی است.
ارشمیدس مدعی بود که دموکریتوس (حدود ۲۱ ق .م) گفته است حجم هرمی که قاعده آن چند ضلعی دلخواهی باشد یک سوم حجم منشوری با همان قاعده و ارتفاع است. در بازه دموکریتوس اطلاع کمی در دست است اما معلوم نیست که او توانسته باشد برهان دقیقی برای این قضیه ارائه نماید. چون هر منشور را می توان به صورت مجموع منشورهای که قاعده همه آنها مثلت باشد قطعه قطعه کرد. و منشوری از این نوع را می توان به نوبه خود به سه هرم مثلث القاعده تقطیع کرد که دو به دو قاعده های معادل و ارتفاع های یکسان داشته باشند نتیجه می شود که گره مسئله دموکرتیوس نشان دادن این امر است که دو هرم با ارتفاع های مساوی و قاعده های
معادل مجموعه‌ها برابر دارند برهانی برای آن را بعداً ائودوکسوس با استفاده از روش افنا داده است. در این قسمت دموکریتوس چگونه می توانسته به این نتیجه اخیر دست یافته باشد؟ پلوتارکلیدی در اختیار ما می گذارد ولی مواجه شدن دموکریتوس را با یک مطئله بغرنج وقتی که یک مخروط را متشکل از بی نهایت مقطع عرضی مستوی به موازات قاعده تلقی کرده نقل می گند اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند سطح جسم مفروض به یک سلسله از پله های کوچک تقسیم خواهد شد که مطمئناً چنین چیزی در بین نیست در اینجا

فرض راجع به تقسیم پذیر بودن کمیتها داریم که نت به دو فرض که قبلاً بررسی شده اند تا حدی جنبه بنیادی دارد زیرا در اینجا فرض می کنیم که حجم مخروط بینهایت بار تقسیم پذیر یعنی قابل تقسیم به بی نهایت مقطع اتمی مستوی است، اما این فرض را هم می کنیم که این مقاطع قابل شمارش اند بدین معنی که اگر یکی از آنها را در نظر بگیریم مقطعی دیگر در کنار آن قرار دارد دموکرتیوس احتمالاً چنین استدلالی کرده است که اگر دو هرم با قاعده های معادل در ارتفاعهای برابر را صفحات موازی با قاعده قطع کنند و این صفحات ارتفاعها را به یک نسبت قطع نمایندو در این صورت مقاطع مناظر تشکیل شده معادل هستند بنابراین هرم ها شامل تعدادی نامتناهی ول

ی متساوی از مقاطع متناظر تشیکل شده معادل هستند و بنابراین باید حجمهای برابر داشته باشند این می تواند موردی از روش تقسیم ناپذیرهای کاوالیری باشد.
اما از مردم باستان ارشمیدس بود که زیباترین کاربردهای روش افنا را عمل کرد و همه بود که به انتگرال گیری واقعی از همه نزدیکر شد به عنوان یکی از قدیمی ترین مثالها تربیع وی از یک قطعه سهمه را در نظر بگیرید. فرض کیند E,D,C نقاطی واقع به قطعه سهموی باشند (نگاه کنید به شکل ۳) که از رسم NE,MP,LC به موازات از خواص هندسی سهمی ارشمیدس نشان می‌دهد که
که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعه سهموی توسط

که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعه سهموی توسط

داده می شود.

شکل ۳

ما در اینجا گار با گرفتن حد مجموع یک تصاعد هندسی مختصر کرده ایم ارشمیدس ابزار برهان خلف مضاعف مربوط به روش افنا را به خدمت می گیرد.
ارشمیدس در مالعه اش از بعضی مساحتها و احجام به معادلهای عده ای از انتگرالهای معین که در کتابهای حسابان مقدماتی دیده می شود دست یافت.

روش تعادل ارشمیدس
روش افنا روش بسیار دقیق ولی بی باری است به عبارت دیگر وقیت فرمول را بداینم روش افنا می تواند بسیار وسیله زیبایی برای اثبات آن باشد ولی این روش قابلیتی درکشف اولیه نتیجه ندارد و ازا ین احاظ روش افا بسیار شبیه به فرآیند استقراء ریاضی است سپس ارشمیدس فرمولهایی را که با آن همه خوبی به روش افنا ثابت کرده چگونه کشف کرده است؟
پرسش بلا استفاده سرانجام در ۱۹۰۶ با کشف نسخه ای از مقاله روش ارشمیدس که از مدتها پیش مفقود و خطاب به اراتستن نوشته شده بود توسط هالیبرگ در قسطنطنیه پاسخ داده شد.
این دست نوشته بر روی یک پالیمت سست قرار داشت. یعنی در قرن دهم بر روی کاغذپارچه ای نوشته شده بود سپس بعدها در قرن سیزدهم شسته شده و مجدداً برای نوشتن یک متن مذهبی مورد استفاده قرار گرفته بود خوشبختانه قسمت اعظم متن اولیه از زیر نوشته ی بعدی قابل احیا بود. ایده اصلی روش ارشمیدس چنین است برای یافتن مساحت یا حجم مطلوب آن را از راه بریدن به صورت تعداد زیادی نورهای باریک مستوی موازی یا لایه های موازی باریک در اورید و این قطعه ها را (به طرز ذهنی) در یک طرف هرم مفروض چنان آویزان کنید که با شکلی که گنجایش و مرکز هندسی آن معلوم باشد در حالت تعادل قرار گیرد برای روشن کردن این روش آنها را برای یافتن فرمول حجم کرده به کار می بریم
فرض کنید r شعاع کره باشد کره را طوری قرار دهید که قطر اصلی آن در امتداد محور افقی x ها قرار گیرد و قطب شمال n در مبدا باشد (نگاه کنید به شکل ۳) استوانه و مخرو

ط دوار حاصل از دوران مستطیل NABS در مثلث NCB در طول محور xها را بسازید حال رزمه قاچ های عمودی باریک (فرض کنید که این قاچ ها استوانه های همواری هستند) به فاصله x از N و ضخامت ببرید. حجم های این قاچ ها تقریباً عبارتند از:
: کره
استوانه
: مخروط
قاچ های کره در مخروط را در نقطه آویزان می کنیم مجموع گشتاورهای آلفا در حول N عبارت است از

ملاحظه می کنیم که این مجموع چهار برابر گشتاور قاچ بریده شده از استوانه است وقتی که این قاچ در همانجا که هست بماند با افزودن تعداد زیادی از این قاچ ها بر هم رابطه زیر را به دست می آوریم:

[حجم استوانه]r4= [حجم مخروط + حجم کره]r2
حجم کره] r2
حجم کره