مقاله در مورد ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 مقاله در مورد ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها دارای ۱۱۶ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله در مورد ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله در مورد ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن مقاله در مورد ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها :

ایجاد تغییرات در AHP با سلسله مراتب غیر خطی و وجود روابط ریاضی مابین معیارها و زیر معیارها

چکیده

از آنجا که اتخاذ تصمیم صحیح و به موقع می تواند تاثیر به سزایی در زندگی شخصی و اجتماعی انسانها داشته باشد ضرورت وجود یک تکنیک قوی که بتواند انسان را در این زمینه یاری کند کاملا محسوس می باشد. یکی از کار آمد ترین این تکنیک ها فرایند تحلیل سلسله مراتبی (Analytical hierarchy process ) است که برای اولین بار توسط توماس ال ساعتی در دهه ی ۱۹۷۰ مطرح شد. این تکنیک بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریو های مختلف را به مدیران می دهد.

این فرایند با توجه به ماهیت ساده و در عین حال جامعی که دارد مورد استقبال مدیران و کاربران مختلف قرار گرفته است، لذا در این پایان نامه سعی شده است تا با نگرشی متفاوت در مقایسه ی دو به دوی معیار ها و زیر معیار ها در این فرایند نتایج حاصل از این روش به واقعیت موجود نزدیک تر شود. بر همین اساس با توجه به اینکه هر معیار یا زیر معیاری در این فرایند در سطوح مختلف دارای مطلوبیت متفاوتی می باشد پس بهتر است با توجه به مطلوبیت معیار ها در هر سطح آنها را دو به دو با هم مقایسه کرد.
جهت آزمایش نتایج حاصل از این کار پژوهشی تکنیک حاصله به صورت حل یک مسئله پیاده گردیده که در این پایان نامه موجود می باشد.

مقدمه :

دنیای اطراف ما مملو از مسائل چند معیاره است و انسانها همیشه مجبور به تصمیم گیری در این زمینه ها هستند. بطور مثال هنگام انتخاب شغل معیار های مختلفی مانند در امد، موقعیت اجتماعی، خلاقیت و ابتکار و; مطرح می باشند که فرد تصمیم گیرنده گزینه های مختلف را باید بر طبق این معیار ها بسنجد. در تصمیم گیری های کلان مانند تنظیم بودجه ی سالانه ی کشور نیز متخصصین اهداف مختلفی مانند امنیت، اموزش توسعه ی صنعتی و; را تعقیب نموده و مایلند که این اهداف را بهینه نمایند.

در زندگی روز مره مثالهای فراوانی از تصمیم گیری با معیار های چند گانه وجود دارد. در بعضی موارد نتیجه تصمیم گیری به حدی مهم است که بروز خطا ممکن است ضرر های جبران ناپذیری را بر ما تحمیل کند از این رو لازم است که تکنیک یا تکنیک های مناسبی برای انتخاب بهینه و تصمیم گیری صحیح طراحی شود تا تصمیم گیرنده بتواند به بهترین انتخاب ممکن نزدیک تر شود.
روش AHP که بر اساس تحلیل مغز انسان برای مسائل پیچیده و فازی می باشد توسط محققی بنام«توماس ال ساعتی » در دهه ی ۱۹۷۰ پیشنهاد گردیده است.
فرایند تحلیل سلسله مراتبی یکی از جامع ترین سیستم های طراحی شده برای تصمیم گیری با معیار های چند گانه است زیرا این تکنیک امکان فرموله کردن مسئله را به صورت سلسله مراتبی فراهم می کند و همچنین امکان در نظر گرفتن معیار های مختلف کمی و کیفی را در مسئله دارد این فرایند گزینه های مختلف را در تصمیم گیری دخالت داده و امکان تحلیل حساسیت روی معیار ها و زیر معیار ها را دارد، علاوه بر این بر مبنای مقایسه ی زوجی بنا نهاده شده که قضاوت و محاسبات را تسهیل می نماید، همچنین میزان سازگاری و نا سازگاری تص

میم را نشان می دهد که از مزایای ممتاز این تکنیک در تصمیم گیری چند معیاره می باشد.
نوع مقایسه زوجی ما بین معیارها و زیر معیارها به صورت خطی بوده و به عنوان مثال اگر ترجیح عنصر A بر عنصرB همواره برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A همواره برابر ۱/n خواهد بود در حالیکه در سطوح مختلف از عنصر A مطلوبیت عنصر B دستخوش تغییر است و در این تحقیق سعی شده که بر اساس تئوری مطلوبیت که یکی از پر کاربرد ترین تئوری ها در علم اقتصاد خرد میباشد مقایسه ای دقیق تر ما بین معیار ها و زیر معیار ها انجام پذیرد و وزن نسبی هر یک از معیارها با استفاده از تابع مطلوبیت بین هر دو معیار بدست می آید.

فصل اول
کلیات

پیاده سازی روش تحلیل سلسله مراتبی AHP امکان دسترسی به اهداف بهینه را به تصمیم گیرنده می دهد این فرایند طوری طراحی شده که با ذهن و طبیعت بشری مطابق و همراه می شود و با آن پیش می رود این فرایند مجموعه ای از قضاوت ها و ارزش گذاری های شخصی به یک شیوه منطقی می باشد به طوری که می توان گفت این تکنیک از یک طرف وابسته به تصورات شخصی و تجربه جهت شکل دادن و طرح ریزی سلسله مراتبی یک مسئله بوده و از طرف دیگر به منطق درک و تجربه جهت تصمیم گیری و قضاوت نهایی مربوط می شود.

۱-۱) موضوع تحقیق :

تجزیه و تحلیل فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP و برطرف نمودن نقاط ضعف این روش تصمیم گیری به کمک تئوری مطلوبیت در جهت ارائه روش اجرایی.

۱-۲) بیان و تعریف موضوع :
فرایند تحلیل سلسله مراتبی با تجزیه مسائل مشکل و پیچیده، آنها را به شکلی ساده تبدیل کرده و به حل آنها می پردازد. این روش کاربردهای فراوانی در مسائل اقتصادی و اجتماعی پیدا کرده است و در سالهای اخیر در امور مدیریتی نیز به کار رفته است.
اصولا جهت حل یک مسئله از طریق AHP ابتدا یک نمایش گرافیکی به صورت سلسله مراتبی ایجاد شده و سپس عناصر هر سطح نسبت به عنصر مربوط خود در سطح بالاتر به صورت زوجی مقایسه شده و وزن آنها محاسبه می گردد و در نهایت پس از تعیین اولویتها باید سازگاری سیستم مورد بررسی و قضاوت قرار گیرد.
در این پایان نامه جهت مقایسه دو به دوی عناصر نسبت به عنصر سطح بالاتر خود به جای روابط خطی از مطلوبیت هر یک از عناصر در مقادیر مختلف استفاده شده است.

۱-۳) اهداف تحقیق :
اصولا در فعالیت های روزانه اعم از اقتصادی، اجتماعی و; استفاده از تکنیک های تصمیم گیری جهت رسیدن به اهداف بهینه یک ضرورت اجتناب ناپذیر است.
در فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP سعی شده برای بدست آوردن وزن نسبی معیارها و در نهایت اولویت ها در جهت رسیدن به هدف روشی مورد استفاده قرار گیرد تا دقت تصمیم گیری از طریق AHP افزایش یافته و فرد به انتخاب بهینه تری دست پیدا کند. اما اگر بخواهیم اهداف پیگیری شده در این کار پژوهشی را دسته بندی کنیم باید بگوییم :
۱- تحلیل و بررسی دقیق فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP
۲- مشخص نمودن نقاط ضعف این فرایند
۳- ارائه روشی بهبود یافته بر اساس تحلیل های علمی و تئوری مطلوبیت

۱-۴) فرض تحقیق
می توان فرض مسئله مورد پژوهش را بدین گونه بیان کرد :
آیا استفاده از تابع مطلوبیت در فرآیند تحلیل سلسله مراتبی AHP منجر به افزایش اثر بخشی روش خواهد شد ؟

۱-۵) قلمرو علمی تحقیق
این تحقیق به ارائه یک مدل و الگوریتم جدید جهت محاسبه اوزان نسبی معیارها از طریق مقایسه دوبه دوی آنها در فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP می پردازد در این راستا جهت تجزیه و تحلیل تکنیک موجود و دستیابی به نقاط قوت و ضعف این تکنیک، اقدام به بررسی قدم به قدم فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP نموده است لذا در این راستا قلمرو تحقیق را می توان به تمام مباحث مهندسی و مدیریتی که به نحوی با این بحث در ارتباط هستند لحاظ نمود.
۱-۵-۱) قلمرو مکانی :
جهت اجرای این پژوهش کاربردی اطلاعات به صورت کتابخانه ای جمع آوری و مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است و برای بررسی نتایج حاصله یک مسئله به صورت امتحان حل می گردد.
۱-۵-۲) قلمرو زمانی : این پژوهش مستقل از قلمرو زمانی بوده و می تواند تا زمانیکه روش بهتری به جای آن پیشنهاد گردد مورد استفاده قرار گیرد.

۱-۶) متدولوژی تحقیق :
۱-۶-۱) روش تحقیق:
پژوهش یک کاوش یا بررسی اصولی و دقیقی است که افراد را قادر می سازد ماهیت پدیده ها یا رویدادهای پیچیده را درک کنند. با توجه به آرمان این تحقیق که کسب دانش جدید برای رسیدن به هدف علمی مشخص، درک صحیح از مسئله پژوهش، یافتن رابطه معنی دار ریاضی و کاربردی بودن آن در تصمیم گیری مورد توجه می باشد، روش تحقیق انتخابی تحقیق کاربردی است که به کمک تجزیه و تحلیل و مطالعه دقیق علوم مرتبط منجر به ارائه یک مدل و الگوریتم جدید می گردد.
اما آنچه در این تحقیق مورد بحث و بررسی قرار گرفته بدین ترتیب است که در قدم اول فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP در مرحله محاسبه اوزان نسبی معیارها و زیر معیارها به خاطر مقایسه دوبه دوی معیارها به صورت خطی دارای اشکال می باشد زیرا در عالم واقع و در مغز انسان در مقایسات زوجی همواره مرجح بودن A بر B برابر n نیست. این مقایسه به نوعی از تئوری مطلوبیت تبعیت می نماید مثلا در انتخاب یک اتومبیل نمی توان گفت که همواره ایمنی دو برابر راحتی برای تصمیم گیرنده اهمیت دارد بلکه هرچه میزان ایمنی اتومبیل بالاتر رود مطلوبیت آن در مقابل از دست دادن راحتی کمتر می شود زیرا افزایش ایمنی منجر به کاهش راحتی در اتومبیل می شود از این رو جهت به دست آوردن وزن نسبی معیارها از نگرش تابع مطلوبیت که در اقتصاد خرد و تئوری رفتار مصرف کننده کاربرد فراوانی دارد استفاده شده و احساس می شود جواب نهایی با استفاده از این روش به واقعیت نزدیک تر می باشد.

۱-۶-۲) روش گردآوری اطلاعات:
منابع و اطلاعات مورد استفاده در این پژوهش عمدتا به صورت کتابخانه ای و مقالات و منابع اینترنتی معتبر می باشد که مورد تایید مجامع علمی است.
۱-۷) محدودیت های تحقیق :
وجود هر گونه مشکل و محدودیت در هر پژوهش بدیهی به نظر می رسد لذا از جمله محدودیت های این تحقیق می توان به موارد ذیل اشاره کرد :

۱- محدودیت منابع علمی فارسی مرتبط با موضوع بالاخص درباره تابع مطلوبیت
۲- پیاده سازی روش پیشنهادی برای مسائلی با معیارهای زیاد مشکل آفرین است و ضعف آن در محدودیت های نرم افزاری می باشد.
۳- با توجه به کمبود سوابق و مطالعات گذشته در مورد این موضوع محقق مجبور شد شخصا به نظریه پردازی در این زمینه اقدام نماید.

فصل دوم
مروری بر ادبیات تحقیق

پیشگفتار:
تصمیم سازی یکی از مهم ترین مشخصه های انسانی است و هر فرد در طول شبانه روز تصمیم های فراوانی اتخاذ می کند، برخی از این تصمیم ها اهمیت چندانی نداشته و برخی دیگر از اهمیت بالایی برخوردار هستند. هر چه مسئولیت و اختیارات انسان بیشتر باشد تصمیم گیری اهمیت بیشتری خواهد داشت. از آنجا که اتخاذ تصمیم صحیح و به موقع می تواند تاثیر به سزایی در زندگی شخصی و اجتماعی انسانها داشته باشد، ضرورت وجود یک تکنیک قوی که بتواند انسان را در این زمینه یاری کند کاملا محسوس می باشد.
یکی از کارامد ترین این تکنیک ها فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP است که برای اولین بار توسط توماس ال ساعتی در دهه ۱۹۷۰ مطرح شد. این تکنیک بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریو های مختلف را به مدیران می دهد. فرایند تحلیل سلسله مراتبی به علت ماهیت ساده و در عین حال جامعی که دارد مورد استقبال مدیران و کاربران مختلف واقع شده است بعلاوه در طول ۲۰ سال گذشته از سوی محافل علمی نیز همواره مورد توجه بوده است. این تکنیک امکان فرموله کردن مسئله را بصورت سلسله مراتبی فراهم می کند و همچنین امکان در نظر گرفتن معیارهای مختلف کمی و کیفی را در مسئله دارد.

این فرایند گزینه های مختلف را در تصمیم گیری دخالت داده و امکان تحلیل حساسیت روی معیارها و زیر معیارها را دارد، علاوه بر این بر مبنای مقایسات زوجی بنا نهاده شده که قضاوت و محاسبات را تسهیل می نماید همچنین میزان سازگاری و ناسازگاری تصمیم را نشان می دهد که از مزایای ممتاز این تکنیک در تصمیم گیری چند معیاره می باشد.
یک تئوری بر پایه تابع مطلوبیت می تواند بوسیله مبادله اهداف از خل و خو و عادات و بیان این عادات به صورت ریاضی جهت تشریح خل و خوهای تصمیم گیرنده بیان شود تا تصمیمات با ملاحظه

ترجیحات وی تنظیم گردد.
با ادغام روش AHP و تئوری مطلوبیت می توان تصمیم گیری دقیق تری را انجام داد .
کمپانی فورد برای طراحی یک هواپیما با گزینه های مختلف جهت خرید قطعات مواجه شد که با استفاده از تلفیق تئوری مطلوبیت و فرایند تحلیل سلسله مراتبی توانست بهترین گزینه ها را برای خرید قطعات مختلف هواپیما انتخاب نماید و در نهایت مدیر کل طراحی شرکت بر اساس گزینه های موجود و بهینه گزینه نهایی را انتخاب نمود ( لوئیس و کالاگان ۲۰۰۰ ).

۲-۱) کلیات
۲-۱-۱) اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی
توماس ال ساعتی ۴ اصل زیر را به عنوان اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی بیان نموده و کلیه محاسبات، قوانین و مقررات را بر این اصول بنا نهاده است. این اصول عبارت اند از :
اصل ۱ : شرط معکوسی (Reciprocal Condition ) – اگر ترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر ۱/n خواهد بود.
اصل ۲ : اصل همگنی ( Homogenity ) – عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل مقایسه باشند به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.
اصل ۳ : وابستگی ( Dependency ) – هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد و به صورت خطی این وابستگی میتواند تا بالا ترین سطح ادامه داشته باشد.
اصل ۴ : انتطارات ( Expectations ) – هر گاه تغییری در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد ( قدسی پور، سید حسن، ۱۳۸۱، ص ۶ ).
۲-۱-۲) مزایای فرایند تحلیل سلسله مراتبی
فرایند طوری طراحی شده که با ذهن و طبیعت بشری مطابق و همراه می شود و با ان پیش می رود. این فرایند مجموعه ای از قضاوت ها ( تصمیم گیری ها ) و ارزش گذاری های شخصی به یک شیوه ی منطقی می باشد بطوریکه می توان گفت تکنیک از یک طرف وابسته به تصورات شخصی و تجربه جهت شکل دادن و طرح ریزی سلسله مراتبی یک مسئله بوده و از طرف دیگر به منطق، درک و تجربه جهت تصمیم گیری و قضاوت نهایی مربوط می شود.
کلیه افراد اعم از دانشمندان اجتماعی و فیزیکی، مهندسان و سیاستمداران و حتی افراد عامی می توانند این روش را بدون استفاده از متخصصین به کار ببرند.
امتیاز دیگر فرایند تحلیل سلسله مراتبی این است که ساختار و چهار چوبی را جهت همکاری و مشارکت گروهی در تصمیم گیری ها یا حل مشکلات مهیا می کند.(قدسی پور، سید حس

ن، ۱۳۸۱ )
توماس ال ساعتی در یکی از کتاب های خود تحت عنوان تصمیم گیری برای مدیران که در سال ۱۹۹۰ به چاپ رسانده است، ویژگیهای فرایند تحلیل سلسله مراتبی را به شرح زیر بیان می کند :
۱- یگانگی و یکتایی مدل ( Unity ) – فرایند تحلیل سلسله مراتبی یک مدل یگانه، ساده و

انعطاف پذیر برای حل محدوده وسیعی از مسایل بدون ساختار است که به راحتی برای همگان قابل درک می باشد.
۲- پیچیدگی ( Complexity ) – برای حل مسایل پیچیده، فرایند تحلیل سلسله مراتبی هم نگرش سیستمی و هم تحلیل جزء به جزء را به صورت توام به کار میبرد. عموما افراد در تحلیل مسایل یا کل نگری کرده و یا به جزئیات پرداخته و کلیات را رها میکنند در حالیکه فرایند تحلیل سلسله مراتبی هر دو بعد را با هم به کار می بندد.
۳- همبستگی و وابستگی متقابل (Interdepemdence) – فرایند تحلیل سلسله مراتبی وابستگی را به صورت خطی در نظر می گیرد ولی برای حل مسائلی که اجزاء به صورت غیر خطی وابسته اند نیز به کار گرفته می شود.
۴- ساختار سلسله مراتبی (Hierarchy structuring ) – این فرایند اجزای یک سیستم را به صورت سلسله مراتبی سازماندهی می کند که این نوع سازماندهی با تفکر انسان تطابق داشته و اجزاء در سطوح مختلف طبقه بندی می شوند.
۵- اندازه گیری ( Measurement ) – فرایند تحلیل سلسله مراتبی مقیاسی برای اندازه گیری معیارهای کیفی تهیه کرده و روشی برای تخمین و برآورد اولویتها فراهم می کند.
۶- سازگاری (‍Consistency ‍) – فرایند تحلیل سلسله مراتبی سازگاری منطقی قضاوت های استفاده شده در تعیین اولویت ها را محاسبه کرده و ارائه می نماید.
۷- تلفیق ( Synthesis ) – این فرایند منجر به براورد رتبه ی نهایی هر گزینه می شود.
۸- تعادل ( Tradeoffs ) – فرایند تحلیل سلسله مراتبی اولویت های وابسته به فاکتور ها در یک سیستم را در نظر گرفته و بین انها تعادل بر قرار می کند و فرد را قادر می سازد که بهترین گزینه را بر اساس اهدافش انتخاب کند.
۹- قضاوت و توافق گروهی ( Judgmemt & Consensus ) – این فرایند بر روی توافق گروهی اصرار و پا فشاری ندارد ولی تلفیقی از قضاوت های گوناگون را می تواند ارائه دهد.
۱۰- تکرار فرایند ( Process Repetition ) – این فرایند فرد را قادر می سازد که تعریف خود را از یک مسئله تصحیح کند و قضاوت و تصمیم خود را بهبود دهد ( قدسی پور، سید حسن، ۱۳۸۱، ص۷ تا ۹)

۲-۲) گام های فرایند تحلیل سلسله مراتبی
فرایند تحلیل سلسله مراتبی با تجزیه ی مسایل مشکل و پیچیده انها را به شکلی ساده تبدیل کرده و به حل انها می پردازد. این روش کاربرد های فراوانی در مسائل اقتصادی و اجتماعی پیدا کرده است و در سالهای اخیر در امور مدیریتی نیز به کار رفته است.
برای حل یک مسئله یا تصمیم گام های زیر باید برداشته شود :
– ساختن سلسله مراتبی
– محاسبه ی وزن
– سازگاری سیستم

۲-۲-۱) ساختن سلسله مراتبی

سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مسئله پیچیده ی واقعی می باشد که در راس ان هدف کلی مسئله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند. هر چند یک قاعده ی ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد اما برخی افراد سعی نموده اند تا یک سری قواعد کلی در این زمینه بیان کنند. بطور مثال « دایر و فورمن » بیان می کنند که سلسله مراتبی ممکن است یکی از صورت های زیر باشد :
هدف – معیارها – زیر معیار ها – گزینه ها
هدف – معیارها – عوامل – زیر عوامل – گزینه ها

هدف;; ( قدسی پور، سید حسن، ۱۳۸۱، ص۳۰ )
یک فرم دیگر از سلسله مراتبی در کارپلا به صورت زیر امده است :

۲-۲-۱-۱ ) انواع سلسله مراتبی ها
سلسله مراتبی ها در یک تقسیم بندی کلی به دو گروه تقسیم می شوند :
الف) سلسله مراتبی ساختاری که در ان عناصر عموما به صورت فیزیکی با هم در ارتباط می باشند. شکل ۲-۱ یک سلسله مراتبی ساختاری می باشد

ب ) سلسله مراتبی وظیفه ای که در ان اجزاء به صورت اعتباری یا وظیفه ای با هم مرتبط بوده و تشکیل یک سیستم را می دهند.
هر سلسله مراتبی وظیفه ای از یک سری سطوح درست شده است که در بالا ترین سطح فقط یک عنصر وجود داشته باشد که هدف نامیده میشود اما در سطوح بعدی ممکن است عناصر بیشتری وجود داشته باشد. البته تعداد این عناصر نمی تواند زیاد باشد و عموما بین پنج تا نه عنصر است.

۲-۲-۱-۲) روش ساختن یک سلسله مراتبی
در یک نگاه کلی میتوان گفت که روش ساختن یک سلسله مراتبی به نوع تصمیمی که باید اتخاذ شود بستگی دارد بطور مثال اگر تصمیم مورد نظر انتخاب یک گزینه باشد می توان از گزینه ها شروع کرده و در پایین ترین سطح هدف سلسله مراتبی که یک عنصر است قرار گیرد.گاهی اوقات خود معیار ها نیز باید به صورت جزیی تر مورد تجزیه و تحلیل واقع شوند که در این گونه موارد یک سطح دیگر ( که شامل زیر معیارها میشود ) به سلسله مراتبی اضافه می گردد. البته لزومی ندارد که تمامی معیارها دارای زیر معیار باشند.
۲-۲-۲) محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی
محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه مورد بحث قرار می گیرد :
-وزن نسبی
-وزن نهایی
وزن نسبی از ماتریس مقایسه زوجی بدست می اید در حالیکه وزن مطلق رتبه ی نهایی هر گزینه می باشد که از تلفیق وزن های نسبی محاسبه می گردد.

۲-۲-۲-۱) روش های محاسبه وزن نسبی

در فرایند تحلیل سلسله مراتبی ابتدا عناصر به صورت زوجی مقایسه شده و ماتریس مقایسه زوجی تشکیل می گردد سپس با استفاده از این ماتریس وزن نسبی عناصر محاسبه می گردد.
بطور کلی، یک ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر نشان داده می شود که در ان aij ترجیح عنصر i ام به عنصر j ام است که با توجه به مقدار aij ها وزن عناصر یعنی wi ها بدست می آید.

هر ماتریس مقایسه زوجی ممکن است سازگار و یا نا سازگار باشد در حالتی که ا

ین ماتریس سازگار باشد محاسبه وزن ( wi ) ساده بوده و از نرمالیزه کردن عناصر هر ستون بدست می اید. اما در حالتی که ماتریس ناسازگار باشد محاسبه وزن ساده نبوده و برای بدست اوردن ان ۴ روش عمده مطرح شده، که عبارت اند از :
– روش حد اقل مربعات ( Least Squares Method)
– روش حد اقل مربعات لگاریتمی Logarithmic Least Squares Method )
– روش بردار ویژه ( Eigenvector Method)
– روش های تقریبی ( Aproximation Methods)

۲-۲-۲-۱-۱) روش حداقل مربعات
در صورتی که ماتریس A سازگار باشد مقدار عددی aij برابر با wi / wj می شود اما در عمل کمتر اتفاق می افتد که ماتریس مزبور سازگار باشد و عموما A یک ماتریس ناسازگار است.
در روش حداقل مربعات wi، wj به گونه ای محاسبه می شوند که wi، wj و aij حداقل گردد، به عبارت دیگر در حالت کلی می توان گفت :
در حالت سازگاری ( به ازای کلیه i و j ها ) aij = wi / wj یاwi = aij wj
در حالت نا سازگاری ( حداقل برای یک i و j ) aij wi / wj یاaij wj wj

در این روش سعی بر این است که wi و wj به گونه ای تعیین شوند که اختلاف wi / wj با aij ها حداقل گردد. به عبارت دیگر، سیستم به حالت سازگاری نزدیکتر شود. بنابراین برای محاسبه wi و wj باید برنامه ریزی غیر خطی زیر حل گردد :
( a ) MINIZ=( aij wj – wi )ˆ۲
wi = 1
لازم به ذکر است در برنامه ریزی غیر خطی فوق محدودیت ۰ wi نیز باید در نظر گرفته شود البته می توان مسئله را بدون در نظر گرفتن این محدودیت حل نمود و سپس آن را اعمال نمود. برای حل مسئله فوق، معادله لاگرانژی آن بصورت زیر در نظر گرفته میشود:
L=(aijwj-wi)^2+2[wi-1] (b)

اگر از معادله فوق نسبت به wi مشتق بگیریم خواهیم داشت :

(c) (aijwj-wi)aij-(aijwj-wi)+=0
از روابط ( a ) و ( c ) به تعداد ( ۱n + ) معادله خطی نا همگن و ( ۱ n + ) مجهول بدست می آید به عنوان مثال اگر ۲n = باشد داریم :
(a11^2+2a11+2)w1-(a12+a21)w2+ =0

-(a21+a12)w1+(a12^2-2a12+a22^2+2)w2+ =0
w1+w2=1مقدار متغیرهای w1، w2 و را می توان با حل معادلات فوق بدست آورد.
۲-۲-۲-۱-۲) روش حداقل مربعات لگاریتمی
در این روش سعی می شود که حاصل ضرب اختلافات و یا به عبارتی میانگین هندسی اختلافات حداقل گردد یعنی در حالتهای سازگاری و نا سازگاری داریم :
aijwj/wi =1 «aij=wi/wj
aijwj/wi 1 «aijwi/wj
میانگین هندسی این اختلافات برابر است با :
[aijwj/wi]^1/n^2=z^1/n^2
بنابراین می توان گفت که در حالت سازگاری میانگین هندسی اختلافات برابر ۱ است و لگاریتم آن برابر صفر خواهد بود و در حالت ناسازگاری هر چه میانگین هندسی به ۱ نزدیکتر باشد بهتر است و به عبارتی دیگر:
در حالت سازگاری (lnaij-ln(wi/wj))=0
درحالت ناسازگاری
۱/n^2(lnaij-ln(wi/wj))=1/n^2lnz
از آنجا که عبارت داخل پرانتز ممکن است در بعضی موارد مثبت و در بعضی موارد منفی باشد آنرا به توان ۲ می رسانیم تا همواره مثبت گردد. پس در این روش باید برنامه ریزی زیر حل گردد :
Minz= (lnaij-ln(wi/wj))^2
Sto:
wi=1
wi0 i=1,2,3,………..,n
با حل این دستگاه مقادیر wi بدست خواهد آمد.
در یک نگاه کلی می توان گفت که روش حداقل مربعات، میانگین حسابی خطاها و روش حداقل مربعات لگاریتمی میانگین هندسی خطاها را حداقل می کنند. در برخی موارد میانگین هندسی بهتر از میانگین حسابی عمل می کند. این مطلب در مقاله فیچنز بطور کامل مورد بحث قرار گرفته است ( قدسی پور، سید حسن، ۱۳۸۱ ).

۲-۲-۲-۱-۳) روش بردار ویژه
در این روش wi ها به گونه ای تعیین می شوند که روابط زیر صادق باشد :
a11w1+a12w2+……………………….a1nwn= w1
a21w1+a22w2+……………………….a2nwn= w2
.
.
an1w1+an2w2+……………………….annwn= wn
که در آن aij ترجیح عنصر i ام بر j ام است و wi نیز وزن عنصر i ام و یک عدد ثابت می باشد. این روش نیز یک نوع میانگین گیری است که هارکر آن را میانگین در طرق مختلف ممکن می داند، زیرا در این روش وزن عنصر i ام یعنی wi طبق تعریف برابر است با :
wi= 1/ aijwj i=1,2,3,…………..,n
دستگاه معادلات فوق را می توان به صورت زیر نوشت :
A*w=.w
که A همان ماتریس مقایسه زوجی { یعنی A = [ aij ] } و w بردار وزن و یک اسکالر ( عدد) است.
طبق تعریف چنانچه این رابطه بین یک ماتریس ( A ) و بردار ( w ) و عدد ( ) برقرار باشد گفته می شود که w بردار ویژه و مقدار ویژه برای ماتریس A می باشند.
۲-۲-۲-۱-۴) روش های تقریبی
از آنجا که روش های فوق دارای محاسبات سنگین می باشند، برخی روشهای

تقریبی پیشنهاد شده که دقت کمتری داشته و محاسبات کمتر و ساده تری دارند. این روش ها عمدتا تقریبی از روش بردار ویژه هستند که با دقتهای مختلف محاسبات را تصحیح می نمایند.
۲-۲-۲-۱-۴-۱) مجموع سطری : در این روش ابتدا مجموع عناصر هر سطح محاسبه شده تا یک بردار ستونی حاصل گردد، سپس این بردار ستونی نرمالیزه می شود. بردار ستونی نرمالیزه شده بردار وزن می باشد.
۲-۲-۲-۱-۴-۲) مجموع ستونی : در این روش ابتدا مجموع عناصر هر ستون محاسبه شده تا یک بردار سطری حاصل گردد، عناصر این بردار معکوس گشته، سپس بردار حاصل نرمالیزه می شود. بردار سطری نرمالیزه شده بردار وزن می باشد.
۲-۲-۲-۱-۴-۳) میانگین حسابی : در این روش ابتدا هر ستون نرمالیزه شده و سپس میانگین سطری عناصر محاسبه می شود تا بردار وزن بدست آید.
۲-۲-۲-۱-۴-۴) میانگین هندسی : در این روش میانگین هندسی عناصر هر سطح محاسبه شده و سپس بردار حاصل نرمالیزه می شود تا بردار وزن حاصل گردد.
۲-۲-۲-۲) محاسبه وزن نهایی :
وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.
۲-۲-۳) محاسبه نرخ ناسازگاری
همان گونه که قبلا بیان شد یک ماتریس ممکن است سازگار و یا ناسازگار باشد در ماتریس سازگار محاسبه وزن ساده بوده و با استفاده از نرمالیزه کردن تک تک ستونها بدست می آید در حالی که برای محاسبه وزن در ماتریس ناسازگار چندین روش ذکر گردید. علاوه بر محاسبه وزن در ماتریس های ناسازگار که قبلا مورد بحث واقع شد، محاسبه مقدار ناسازگاری از اهمیت بالایی برخوردار است. در حالت کلی می توان گفت که میزان قابل قبول ناسازگاری یک ماتریس یا سیستم بستگی به تصمیم گیرنده دارد اما ساعتی عدد ۱/۰ را به عنوان حد قابل قبول ارائه می نماید و معتقد است چنانچه میزان ناسازگاری بیشتر از ۱/۰ باشد بهتر است در قضاوت تجدید نظر گردد.

۲-۲-۳-۱) ماتریس سازگار
اگر n معیار به شرح c1 , c2 , … cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد :
n،;;، ۲، ۱A = [ aij ] , I , j =

که در آن aij ترجیح عنصر ci را بر cj نشان می دهد چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :
aik*akj=aij I,j,k=1,2,3,…………..,n
آنگاه می گوییم ماتریس A سازگار است.

۲-۲-۳-۲) ماتریس ناسازگار

در این قسمت می خواهیم بدانیم که اگر ماتریس مقایسه زوجی ناسازگار باشد میزان ناسازگاری ماتریس چه مقدار بوده و آن را چگونه اندازه گیری می کنیم. قبل از بیان معیار اندازه گیری ناسازگاری به چند قضیه مهم در باره هر ماتریس مقایسه زوجی اشاره می شود :
قضیه ۱ : اگر ۱، ۲،;.. n مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آن برابر n است :
i=n
قضیه ۲ : بزرگترین مقدار ویژه (max ) همواره بزرگتر یا مساوی n است ( در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود. n max
قضیه ۳ : اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرند مقادیر ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهند گرفت.
w. A*w=
که در آن و w به ترتیب مقدار ویژه و بردار ویژه ماتریس A می باشند. در حالتی که ماتریس A سازگار باشد یک مقدار ویژه برابر n بوده ( بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت :
A*w=n*w
در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه ۳ max کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت :
max.w =A*W
دلیل استفاده از max طبق قضیه ۳ این است که کمترین فاصله را از n خواهد داشت. از آنجا که max همواره بزرگتر یا مساوی n است و چنانچه ماتریس از حالت سازگاری کمی فاصله بگیرد max از n کمی فاصله خواهد گرفت، بنابراین تفاضل max و n
(n – max ) به مقدار n بستگی داشته و برای رفع این وابستگی می توان مقیاس را به صورت زیر تعریف نمود که آنرا شاخص ناسازگاری ( I.I. ) می نامیم.
max-n/n-1=I.I.
نکته: طبق قضیه ۱ داریم که i=nویا i= – max-n یعنی max-n
مقادیر شاخص ناسازگاری (I.I. ) برای ماتریس هایی که اعداد آنها کاملا تصادفی اختیار شده باشند محاسبه کرده اند و آن را شاخص ناسازگاری ماتریس تصادفی ( I.I.R. ) نام نهاده اند که مقادیر آن ها برای ماتریس های n بعدی مطابق جدول زیر است :

۱۰ ۹ ۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ n
۴۵/۱ ۴۵/۱ ۴۱/۱ ۳۲/۱ ۲۴/۱ ۱۲/۱ ۹/۰ ۵۸/۰ ۰ ۰ I.I.R

برای هر ماتریس حاصل تقسیم شاخص ناسازگاری ( I.I. ) بر شاخص ناسازگاری ماتریس تصادفی ( I.I.R. ) هم بعدش معیار مناسبی برای قضاوت در مورد ناسازگاری می باشد که آن را نرخ ناسازگاری ( I.R. ) می نامیم. چنانچه این عدد کوچکتر با مساوی ۱/۰ باشد سازگاری سیستم قابل قبول است وگرنه باید در قضاوت ها تجدید نظر نمود.

۲-۲-۳-۳) الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس
با توجه به قضایای ۱ تا ۳ و نتایج آنها نرخ ناسازگاری هر ماتریس را طبق مراحل زیر می توان بدست آورد :
۱- ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
۲- بردار وزن ( w ) را مشخص نمایید.
۳- آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A ( یعنیmax ) مشخص است؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید در غیر اینصورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن را تخمین می زنیم :
– با ضرب بردار w در ماتریس A، تخمین مناسبی از.w max بدست می آید زیرا :
max.w=A.w
– با تقسیم مقادیر بدست آمده برای.w max بر w مربوطه تخمین هایی از max محاسبه می شود.
– متوسط max های بدست آمده محاسبه می گردد.
۴- مقدار شاخص ناسازگاری ( I.I. ) محاسبه می گردد.
Max-n/n-1=I.I.
۵- نرخ ناسازگاری ( I.R. ) محاسبه می گردد.
I.R.=I.I./I.I.R.ی
برای محاسبه ی نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی، شاخص ناسازگاری هر ماتریس ( I.I.) را در وزن عنصر مربوطه اش ( یعنی عنصری که ماتریس در مقایسه با آن ساخته شده است ) ضرب نموده و حاصل جمع آنها را بدست می آوریم. این حاصل جمع را . می نامیم. همچنین وزن عناصر را در I.I.R. ماتریسهای مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم. حاصل تقسیم ./ نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را نشان می دهد.

۲-۴) سیستمهای غیر خطی یا شبکه ها
طبق اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی در یک سلسله مراتبی باید وابستگی ها به صورت خطی از بالا به پایین و یا بالعکس باشد. چنانچه وابستگی دو طرفه بوده یعنی وزن معیارها به وزن گزینه ها و وزن گزینه ها نیز به وزن معیارها وابسته باشد، مسئله دیگر از حالت سلسله مراتبی خارج شده و تشکیل یک شبکه یا سیستم غیر خطی را می دهد که در این صورت برای محاسبه وزن عناصر نمی توان از قوانین و فرمولهای سلسله مراتبی استفاده کرد، زیرا با اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی مغایرت پیدا می کند. در این حالت برای محاسبه ی وزن عناصر باید از تئوری شبکه ها استفاده نمود. شکل ۲-۲ نمونه ای از یک سلسله مراتبی و نمونه ای از یک شبکه را نشان می دهد.

شکل۲-۲ یک شبکه غیر خطی و یک سلسله مراتبی

۲-۵) تئوری مطلوبیت
۲-۵-۱) مفهوم مطلوبیت و رابطه اش با ارزش کالاها و خدمات
رضایت مصرف کننده که از مصرف کالاها و خدمات حاصل می شود، به وسیله اقتصاددانان مطلوبیت نامیده می شود.
واژه مطلوبیت اولین بار به وسیله پروفسور جرمی بنتام انگلیسی مطرح گردید. در هر حال نه وی و نه اقتصاددانان هم عصر وی رابطه ی بین ارزش کالا و مطلوبیتی که از مصرف کالا حاصل می شود را درک نکرده اند( فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).
آدام اسمیت رابطه ی بین ارزش استفاده ای و ارزش مبادله ای کالا را تشخیص داد و مثال معروفش را در مورد آب و الماس بیان نمود. بدین ترتیب که الماس قیمت ( ارزش مبادله ای ) بالایی دارد اما ارزش آن برای زندگی کم است، این در حالی است که آب قیمت ( ارزش مبادله ای ) کمی دارد اما برای زندگی بسیار ضروری است و ارزش استفاده ای بسیار بالایی دارد(فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).

۲-۵-۲) نظریه کاردینالی مطلوبیت
تئوری کاردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت هم درست مثل قیمت و مقدار اندازه گیری می شود. به این معنی که می توانیم مقدار مطلوبیت هر کالا را تعیین کنیم. در این نظریه هم مطلوبیت کل و هم مطلوبیت نهایی قابل اندازه گیری است. اقتصاددانانی که معتقد به کاردینالی بودن مطلوبیت بودند را می توان به دو گروه تفکیک نمود:
۱- آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت بودند
۲- آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت نبودند.

۲-۵-۳) نظریه اردینالی مطلوبیت
تئوری اردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت مثل قیمت و مقدار قابل اندازه گیری نیست، اما این امکان وجود دارد که یک نفر کالاهای مختلف را از نظر مطلوبیت رتبه بندی نماید به این معنی که بر اساس این تئوری اگر چه نمی توان گفت که مطلوبیت یک کالا چقدر است، اما این امکان وجود دارد که بگوییم مطلوبیت کالای A از B بیشتر است و بر عکس. نکته ای که ذکر

آن ضروری به نظر می رسد آن است که قانون نزولی بودن مطلوبیت نهایی، هم در مورد کاردینالی بودن مطلوبیت و هم در رابطه با اردینالی بودن مطلوبیت صدق می کند(فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).

۲-۵-۴) مطلوبیت کل و مطلوبیت نهایی
یک فرد کالای خاص را بدین سبب تقاضا می کند که مصرف آن کالا برای او رضایت یا مطلوبیت حاصل می کند. هر قدر واحدهایی از یک کالا که مورد مصرف فرد در واحد زمان قرار می گیرد بیشتر باشد مطلوبیت کلی هم که او به دست می آورد بیشتر است. در نتیجه مطلوبیت کل افزایش می یابد اما مطلوبیت اضافی یا مطلوبیت نهایی به دست آمده از مصرف هر واحد اضافی از کالا معمولا کاهش می یابد. در بعضی از سطوح مصرف مطلوبیت کل فرد که ناشی از مصرف کالایی می باشد به حداکثری خواهد رسید و در همین سطح، مطلوبیت نهایی او صفر خواهد بود.. این سطح را نقطه اشباع می گویند. مصرف واحدهای اضافی از کالا باعث کاهش مطلوبیت کل و منفی شدن مطلوبیت نهایی می گردد.( سالواتوره، دومینیک، ۱۳۸۳،ص ۹۹).

شکل۲-۳ تابع مطلوبیت

اگر دو کالا را x و y در نظر بگیریم در این صورت تابع مطلوبیت به شکل U( x,y) می باشد. شکل ۲-۴ تابع مطلوبیت U( x,y) را در یک نمودار سه بعدی نشان می دهد. در این نمودار مقادیر x,y روی محورهایی اندازه گیری شده اند که در صفحه افقی قرار دارند، مطلوبیت نیز بر حسب یوتیل و روی محور عمود بر صفحه سنجیده می شود. باید توجه نمود که ما اینجا با یک سطح مطلوبیت سرو کار داریم و هرچه مقدار کالاها را افزایش دهیم این سطح نیز بالا می رود.

شکل۲-۴ تابع مطلوبیت دو کالا

شکل ۲-۵ نمایش متفاوت دیگری از تابع مطلوبیتی است که در بالا ملاحظه می گردد. منحنی هایی که در اینجا در سطح مطلوبیت کل رسم شده از اتصال نقاطی از چادر مطلوبیت در شکل ۲-۴که دارای ارتفاع مساوی اند بدست آمده است. بنابراین تمام نقاط هریک از این خطوط واصل دارای مطلوبیت ثابت و یکسان می باشند.
حال اگر به این خط های واصل ( یعنی ، ، ) از بالا نگاه کنیم منحنی هایی نظیر شکل ۲-۲ را مشاهده می کنیم. به عبارت دیگر اگر این خطوط را روی صفحه تصویر کنیم، منحنی هایی نظیر ( EE,DD,CC ) حاصل می گردند که مقدار مطلوبیت روی هر یک از آنها ثابت است.

شکل۲-۵ تابع مطلوبیت کل دو کالا و استخراج منحنی های بی تفاوتی

به هر یک از این منحنی ها منحنی بی تفاوتی و به مجموع آنها نقشه بی تفاوتی می گویند. بنابراین هر یک از این منحنی های بی تفاوتی ترکیبات مختلف دو کالای x,y را که رضایت یکسانی به مصرف کننده ارائه می دهد نشان خواهند داد. همانگونه که در شکل ملاح

ظه گردید در می یابیم منحنی های بی تفاوتی از چپ به راست دارای شیب منفی هستند، یکدیگر را قطع نکرده و نسبت به مبداء مختصات محدب هستند، در ضمن منحنی های بی تفاوتی بالاتر نشاندهنده ی مطلوبیت بیشتری نسبت به منحنی های بی تفاوتی پایین تر از خود هستند.
۲-۵-۵) نرخ نهایی جانشینی
نرخ نهایی جانشینی x برای y (MRSxy) بیانگر آن مقدار ازy است که یک مصرف

کننده مایل است به منظور به دست آوردن یک واحد از x از دست بدهدو در ضمن همچنان روی منحنی بی تفاوتی باقی بماند.
هر چه فرد روی منحنی بی تفاوتی به سمت پایین حرکت کند MRSxy کاهش می یابد، در نتیجه در یک محور مختصات داریم:

شکل۲-۶ رابطه نرخ نهایی جانشینی دو کالا

۲-۵-۶) رابطه بین نرخ نهایی جانشینی با مطلوبیت نهایی
رابطه مهم دیگری که می بایستی مورد توجه قرار گیرد، آن است که قدر مطلق شیب منحنی بی تفاوتی برابر نسبت مطلوبیت نهایی x به مطلوبیت نهایی y نیز می باشد. ( کالای x روی محور افقی قرار دارد ) برای اثبات فرض کنید مطلوبیت نهایی x برابر Mux و مطلوبیت نهایی y برابر Muy باشد. چنانچه مصرف کننده روی منحنی بی تفاوتی u در شکل ۲-۷ از نقطه A به نقطه B حرکت کند، ملاحظه می شود مصرف کالای x به اندازه x افزایش و مصرف کالای y به اندازه y کاهش پیدا می کند. در اثر افزایش مصرف x مطلوبیت مصرف کننده به میزان Mux.x افزایش می یابد در حالی که در اثر کاهش مصرف y مقدار مطلوبیت وی به مقدار Muy.y کاهش می یابد.

شکل۲-۷ منحنی بی تفاوتی

اگر در نظر بگیریم که با حرکت روی منحنی بی تفاوتی u مقدار مطلوبیت مصرف کننده ثابت می باشد، لذا تغییر خالص در مطلوبیت می بایستی برابر صفر باشد بنابراین می توان نوشت:
y.Muy+x.Mux=0
y/x=MUx/MUy
اما برای مقادیر کوچک y و x، y/x همان قدر مطلق شیب منحنی بی تفاوتی است. بنابراین نتیجه مهم زیر حاصل می شود.
MRSxy=y/x=MUx/MUy

۲-۶) بررسی سوابق گذشته
کینی و ریفا(۱۹۷۶)، به مطالعه در مورد تئوری مطلوبیت و قواعد مربوط به آن پرداختند. در تئوری آنها تمامی جوانب اساسی و کاربردی، صحت و سقم داده ها و احتمال خطرآفرینی مد نظر قرار می گیرد. در طرح آنها ارزیابی بر مبنای تئوری مطلوبیت چند بعدی انجام می شود این تئوری به طراح این امکان را می دهد تا اولویت های مورد نظر را در ابعاد مشخص بررسی کرده و به یک طرح واحد دست یابد. (طرحی که نتیجه اراء ونظرات فردی است ). تئوری مطلوبیت به تصمیم گیرنده کمک می کند تا در بین متغیرها سبک و سنگین کرده و سپس به یک نتیجه واحد برسد. ( لوئیس و کالاگان، ۲۰۰۰،ص۲). هازلریگ(۱۹۹۶)، تئوری مطلوبیت را چیزی فراتر از شانس انتخاب در بین تعدادی متغیر می داند، به نظر او هنگامیکه اطلاعات ما در مورد مسئله ای کامل باشد، احتمال خطا کاهش یافته و با آگاهی بیشتر می توان به انتخاب هدف پرداخت. ولی با وجود اطلاعات ناقص، احتمال خطا در تصمیم گیری بین متغیرها افزایش می یابد( لوئیس و کالاگان، ۲۰۰۰،ص۲).
فرآیند تحلیل سلسله مراتبی(AHP)، شیوه تصمیم گیری رایجی در مسائل پیچیده و چند بعدی است. در این شیوه گزینه های کمی و کیفی مسئله به طور همزمان مورد بررسی قرار می گیرند.بارزیلا(۱۹۹۸) صحت این شیوه را زیر سوال برده و دلایلی را مبنی بر غیر منطقی بودن آن ارائه می دهد.

در مقابل از نظر لوئیس و کالاگان در تئوری مطلوبیت و AHP که به عنوان شیوه های ارزشی مطرح می شوند ( شیوه هایی که در آنها تصمیم گیرنده از بین تعدادی متغیر به یک نتیجه کلی می رسد) از آنجائیکه که کاربردهای مطلوبیت ثابت نیستند روابط متقابل افراد گروه می تواند در تصمیمات فردی و در نتیجه در تصمیم نهایی گروه موثر باشد.
جیمز- ال- راجرز موضوع مطالعه خود را برای طراحی یک هواپیمای مسافربری به صورت زیر ارائه داده است (ww./arc.nasa.gov/mdob/MDOB/mdo.test/index.html) خلاصه طرح وی در زیر گنجانده شده است.

در مطالعه طراحی هواپیمای مسافربری به طرحی چالشی با محدودیتهای زیر برخورد می شود:
– کمترین هزینه
– کمترین وزن
– بیشترین ظرفیت مسافر
– حداکثر وسعت
– بیشترین سرعت
به طوری که: