مقاله تابع متغیر مختلط ۱

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

  مقاله تابع متغیر مختلط ۱ دارای ۶۱ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله تابع متغیر مختلط ۱  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله تابع متغیر مختلط ۱،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله تابع متغیر مختلط ۱ :

فصل ۶
تابعهای متغیر مختلط ۱
ویژگیهای تحلیلی نگاشت
عددهای موهومی پرواز شگفت انگیز روح خدایند.این اعداد هویت دو گانه ای بین بودن ونبودن دارند.
گاترفید ویلهلم فون لایب نیتس۱۷۰۲میلادی
نظریه ی تابع ها از یک متغییر مختلط شامل برخی از قوی ترین و مفید ترین وپر کاربرد ترین ابزارهای تحلیل ریاضی است.برای انکه دست کم تا هدودی اهمییت متغیر های مختلف را نمایش دهیم چند مبهث از کاربرد های انها را به اختصار بر می شمریم .
۱.در مورد بسیاری از زوج تابع هایu v ,همuوهم vدر معادله ی لاپلاس در دو بعد واقعی صدق میکنند .
برای مثال یا vیاu را میتوان برای توصیف پتانسیل الکتروستاتیکی دو بعدی به کار برد . آن گاه میتوان از تابع دیگری برای توصیف میدان الکتریکی Eبهره گرفت که یک دسته از منحنی های عمود بر منحنی های مربوط به تابع اولیه را ارائه می کند یک موقعیت مشابه برای هیدرودینامیک از یک شاره ایده ال با حرکت غیر چرخشی نیز وجود دارد تابع uباید پتانسیل سرعت را توصیف کند در حالی که تابع vتابع جریان خواهد بود.
درمواردبسیاریکه تابع های u,vمجهولند می توانیم به یاری نگاشت یا تبدیل در صفحه ی مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ی مورد نظر بسازیم .
۲.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج های اعداد حقیقی ساخته می شوند بنابر این حوزه ی اعداد حقیقی به طور طبیعی در حوزه ی اعداد مختلط جا سازی میشوند. در اصطلاح های ریاضی حوزه ی اعداد مختلط تعمیمی از حوزه ی اعداد حقیقی است و بعداً در جهت هر چند جمله ای به ترتیب n (در حالت کلی )صفر مختلط کامل میشود . این واقعیت ابتدا به وسیله ی گاوس اثبات شد و قضیه اصلی جبر نامیده شد (بخش ۶-۴و۷-۲ را ببینید ) به صورت یک نتیجه تابع های حقیقی سری حقیقی بی نهایت و انتگرال ها معمولا میتوانند به طور طبیعی به اعداد مختلط ساده به وسیله ی نشاندن یک متغیر حقیقی x برای مثال به جای مختلط z تعمیم داده شوند .
در فصل ۸خواهیم دید که معادله های دیفرانسیل مر تبه ی دومی که در فیزیک مطرح می شوند می توان به کمک سری توانی حل کرد.
اگر به جای x متغیر مختلط z را قرار دهیم همین سری توانی را میتوان در صفحه ی مختلط نیز به کار برد. وابستگی جواب در نقطه ی معلوم ۰ z ،به رفتار در هر جای دیگر ،نگرش گسترده تری درباره ی جواب به ما می دهدو ابزاری قوی(ادامه تحلیلی) برای گستردن ناحیه ای به شمار می آید که در آن جواب صادق است.
۳. با تغییر پارامتر kازحقیقی به موهومی، ik k معادله هلمهو لتر به معادله ی پخش
تبدیل می شود.همین تغییر جوابهای معادله ی هلمهولتر(تا بع های بسل و بسل کروی )
را به جواب ها ی معادله ی پخش (تابع های تعدیل یافته ی بسل و تعدیل یافته ی بسل کروی )تبدیل می کند .
۴.کاربرد انتگرالهادر صفحه مختلط در موارد زیر متنوع و مفید است.
( الف) محاسبه ی انتگرا لهای معین (در بخش۷-۲)
(ب)وارون کردن سریهای توانی
(ج) تشکیل حاصلضربهای نامتناهی. ازتوابع تحلیلی(در بخش۷-۲)
(د)دستیابی به جواب های معادله های دیفرانیسل به ازای مقادیربز رگ متغیر
(جواب های مجانبی)
(ه) بررسی پایداری دستگاه های بالقوه نو سانی.
(و)وارون کردن تبدیل های انتگرالی .(درفصل ۱۵)

در پایان باید بدانیم که درهنگام تعمیم یک نظریه یساده ی فیزیکی ،بسیاری ازکمیتهای فیزیکی که در اصل حقیقی بودند، به مختلط تبدیل میشوند . ضریب شکست نور که کمیتی حقیقی است . با در نظر گرفتن جذب ، به کمیت مختلطی تبدیل میشود . انرژی مربوط به یک تراز انرژی هسته ای که حقیقتی است، با در نظر گرفتن طول عمر محدود تراز انرژی ، به صورت مختلط در میآید،.E=m±i
مدارهای الکتریکی با مقاومت Rو ظرفیت خازن Cو خود القاییL به ا مپدا نس(مقاومت مختلط) تبدیل می شود ( C/1-i ( L+R=z.
ابتدا حساب مختلط را در بخش( ۱-۶ )و سپس تابع های مختلط و مشتق انها را در بخش(۲-۶) معرفی می کنیم .در ادامه بافرمول انتگرال بنیادی کوشی دربخش (۳-۶ )وادامه ی تحلیلی ،تکینه و بسط های لورن و تیلور تا بع ها دربخش (۵-۶ )ونگاشت همدیس و نقطه ی فرعی تکینه ها و توابع چند ظرفییتی در بخش( ۶-۶)و (۷-۶ )آشنا خواهیم شد .
۶.۱ جبر مختلط
به تجربه می دانیم که با حل کردن معادله های درجه دوم برای به دست آوردن صفر های حقیقی آ نها اغلب موفق نمی شویم حاصل جواب را به دست بیاوریم مثال زیر به این نکته اشاره دارد :
مثال ۱-۱-۶ شکل درجه دوم مثبت
برای همه ی مقادیر حقیقیی xمثبت و معین است .

معادله ی بالا در حوزه اعداد حقیقیی y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت استفاده کنیم میتوانیم جواب های y(x)=0رابه صورت بنویسیم در زیر درستی آن را بررسی می کنیم:

اگر چه می توانیم مجاسبا تی باi با توجه به قانون انجام دهیم اما این علا مت به ما نمی گوید که اعداد موهومی واقعی هستند.
برای تمایان ساختن صفر های مختلط باید اعداد حقیقی روی خط را در یک صفحه ی اعداد مختلط بزر گ کنیم . یک اعدد مختلط را به صورت یک نقطه با دومختصات در صفحه اقلیدسی به صورت زوج مرتب از دو عدد حقیقیی(a,b)به صورتی که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معین کنیم . شبیه آن،یک متغیرمختلط یک زوج مرتب ازدومتغیر حقیقی است،
. (۶۱)
تریب قرار گرفتن متغیر ها مهم است . xقسمت حقیقی z , y قسمت موهومی zنامیده میشود . در حالت کلی ، ( a,b) با (b,a) مساوی نیست و همچنین (,y x) با ((y,xمساوی نیست .به طور معلوم نوشتن یک عدد حقیقی ( ( x ,o را به سادگی بصورتxادامه می دهیم و (o,l) = iرا واحد موهومی می شویم محور xمحورحقیقی است و محور yمحور موهومی صفحه عدد مختلط است. توجه کنید که درمهندسی الکتیریکی قرار دارد است وiازپیش برا ی نشان دادن شدت جریان الکتیریکی حفظ شده است. عدد های مختلط باتوجه به مثال۶-۱-۱ نقطه های هستند .

شکل۶-۱:صفحه ی مختلط- نمودار آرگاند

بهره گیری از نموداری متغییر مختلط در موارد زیادی مفید وراحت است. اگر x،یعنی جزءحقیقی z،را محو ر طول و y،یعنی جزء موهومی z،را روی محور عرض بنامیم ،مطابق( شکل۶-۱)صفحه ی مختلط یا صفحه ی آرگاند خواهیم داشت . اگر مقادیر خاصی به y,x نسبت دهیم، zبا نقطه ی (x,y) در صفحه ی مختلط متنا ظر خواهد شد .مطا بق ترتیبی که قبلا” برشمر دیم ، روشن است که نقطه ی (x,y) بر نقطه ی((y,xمنطبق نیست ،مگر در حالت خاص .x=y
اعدد مختلط نقطه هایی در صفحه هستند حالا می خواهیم تا جمع تفریق وضرب وتقسیم آنها را ،دقیقاً مانند اعداد حقیقی انجام دهیم .کل مبحث تحلیل متغییرمختلط را می توان بر حسب زوجهای مرتب اعداد ( a,b)متغیرهای (x,y)،وتابعهای( (x,y),v (y ( u(x,بیان کرد .به کار بردن iلازم نیست ولی مفید است . iترتیب زوجهارا شبیه بردار های یکه در فصل حفظ می کند.جمع اعداد مختلط در اصلاح مولفه های دکارتی صورت زیر معین می کنیم .
z1 + z2= (x1 ,y1 ) + (x2 ,y2 ) = (x1 +x2 ,y1 +y2 ) =z1 + z2, (6.2)

که جمع بردار دو بعدی است . در فصل۱،هر نقطه در صفحه یxy را با یک بردار جابجایی دو بعدی مشخص کردیم .در نتیجه در مورد قسمت اعظم تحلیل مختلط می توان مشابه های برداری دو بعدی را تشکیل داد.در مسئله (۲-۱-۶ )یک نمونه ساده این شباهت را مشاهده می کنید . قضیه ی کو شی در بخش (۶-۳ )نمونه ی دیگری از آن است.همچنین ۰= ( yx)+(y- x-)=z+z- بنابراین منفی اعداد مختلط منحصر به فرد است. تفریق اعداد مختلط مانند جمع انها انجام می شود:
( y2- y12x -1 x) = z2-z1
ضرب اعداد مختلط به صورت زیر تعیین میشود
z1 z2= (x1, y1).(x2 ,y2)=(x1 x2 –y1 y2 ,x1 y2 +x2 y1 ). (6.3)

از معادله (۶-۳) استفاده می کنیم. نیزبررسی می کنیم که: به طوری که می توانیم بطور معمولiرا مساوی با بدانیم.بعلاوه با باز نویسی معادله (۶-۱) داریم:

Z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1).(y,0)=x+iy. (6.4)

به کار بردن iلازم نیست در اینجا ولی مفید است .iترتیب زوجها را شبیه بردارهای یکه در فصل ۱ حفظ میکند.
با استفاده از اعداد مختلط میتوانیم صفرهای معادلهz ²+z+1=0 در مثال (۶-۱-۱)به صورت و مضربهای کامل تعیین کنیم.

همیوغ مختلط
عمل نشاندنi- به جای i در اعداد مختلط و متغیرهای مختلط و تابع های مختلط” گرفتن همیوغ مختلط” میگویند .همیوغ مختلط zرا با نشان میدهند ودر نتیجه
(۶۵) .

شکل ۶-۲ : نقاط همیوغ مختلط

متغییر مختلط zو همیوغ آن نسبت به محور xتصویرهای آینه ای یکدیگرند یعنی تبدیل yبه
-y(با شکل ۶-۲ مقایسه کنید ). حاصلضرب عبارت است از
. (۶۶)
بنابراین بزرگی zعبارت است از:

تقسیم اعداد مختلط به آسانی بوسیله قرار دادن عدد مثبت در مخرج کسر به صورت زیر اجرا میشود :
, (۶۷)
که قسمت حقیقی وموهو می بصورت نسبت اعداد حقیقی با همان مخرج مثبت را نمایش می دهد.اینجا قدر مطلق مجذور z2است و همیوغ مختلط zنامیده میشود. می توانیم بنویسیم ،که مجذور طول مربوط به بردار دکارتی درمختصات مختلط است.
بعلاوه با توجه به (شکل ۶-۱)می توانیم درصفحه ی مختصات قطبی بنویسیم:
x=rcos , y=rsin (68)

z=r(cos+i sin) (69)
در این نمایش rقدر مطلق یا مقدارقدر مطلق از

زاویه ی (=tan -1(y/x)) شناسه (ارگومان) یا فاز zنامیده میشود.با استفاده از نتیجه ای که در بخش ۶-۵ پیشنهاد شد (اما به دقت اثبات نشده ) نمایش قطبی متغییر مختلط را که بسیار سودمند است به دست می آوریم (۶۱۰)
برای اثبات نمودن این یکسانی ما از i³=-iو ۴ i =1و; استفاده می کنیم .در بسط تیلور توابع مثلثا تی ونمایی پس از جدا کردن توانهای زوج و فرد د

. (۶۱۱)
برای مقدارهای ویژه ی = و = ۲/, بدست می آوریم:

ارتباط بین e و i و جالب است.دوره ی تناوب تابع نمایی i e مانند sin , cos ، ۲ است .بعنوان یک کاربرد سریع میتوانیم مشتق شکل قانونهای جمع مثلثاتی را بدست آوریم:

حالا اجازه دهید نسبت اعداد مختلط را به طور واضح به شکل قطبی تبدیل کنیم.

مثال ۶-۱-۲ تبدیل به شکل قطبی
با تبدیل کردن مخرج نسبت به عدد حقیقی آغاز می کنیم:

که در آن و . زیرا دو شاخه در ناحیه صفر تا ۲ داردما جواب /۲ > 0>0 و ۲۵۵ .۶۰ = ۰ را انتخاب می کنیم زیرا جواب دوم
+۰ نتیجه میدهد : (علامت اشتباه. (i.e.
به طور متناوب میتوانیم و را به شکل قطبی با زاویه ی و تبدیل کنیم.و سپس آنها را به یکدیگر تقسیم کنیم تا بدست آوریم

برای راحتی میتوان نمایش قطبی معادله (۶-۱ )یا نمایش د کارتی[ معادله های ۶-۱و۶-۴ ]را برای متغیر مختلط برگزید.جمع و تفریق متغییرهای مختلط در نمایش دکارتی آسانترصورت میگیرد معادله ۶-۲.ضرب ، تقسیم، به توان رساندن ویافتن ریشه در مختصات قطبی راحت تر انجام میشود معادله های ( ۶-۸ و ۶-۱۰).
اجازه دهید میانگین هندسی تابعهای چند ظرفتی بوسیله ی ثابت مختلط امتحان کنیم .

مثال ۶-۱-۳ ضرب اعداد مختلط
وقتی متغیر مختلط zرا در ضرب میکنیم ،برای مثال، ۹۰ درجه پاد ساعتگرد به چرخانده میشود.وقتی را در ضرب میکنیم را بدست می آوریم که zبوسیله آرگومان چر خانده میشود .همچنین منحنی های معیین شده با ثابت هنگامی که یک تابع مختلط را در آن ضرب کنیم چرخانده می شو د . هنگامی که قرار دهیم :
ثابت
دو هذلولی زیر را معیین می کنیم

از ضرب کردن c در عدد مختلط ،بدست میاوریم:

هذلولی ها بوسیله ی قدر مطلق Aمقیا س گذاری و بوسیله ی آرگومان چرخیده میشوند.

می توان به طور تحلیلی یا نموداری ،با استفاده از شباهت با بردارها ،نشان داد (مسا له ۶.۱.۲)که مدول مجموع دو عدد مختلط از مجموع مدولهای آن دو عددکوچکتر واز اختلاف آنها بزرگتر است:
(۶۱۲)
این نامساوی ها را ،در تشابه با بردارها،نا مساوی های مثلثی می نامند.
با استفاده از صورت قطبی متغییر مختلط ،معادله(۶- ۸) پی میبریم که بزرگی حاصلضرب متغیرهای مختلط با حاصلضرب بزرگیهای آنها برابر است،
. (۶۱۳)
همچنین
. (۶۱۴)
از متغییر مختلط z،می توان تابعهای مختلط یا را ساخت . این تابعهای مختلط را میتوان به اجزای حقیقی و موهومی تفکیک کرد
(۶۱۵)

شکل ۶-۳: تابع نقاط صفحه ی را روی صفحه ی می نگارد.

که در آن تابعهای مجزای و حقیقی محض اند. مثلاً،اگر ،آنگاه داریم :

جزء حقیقی تابع را با وجزءموهومی آن را با نشان میدهنددر معادله(۶-۱۵)
(۶۱۶)
شاید بهترین روش برای تصویر کردن رابطه ی بین متغیر مستقل zومتغیر وابسته ی ،عمل نگاشت باشد .A یک مقدار مفروض z=x+iy،یعنی یک نقطه ی مفروض در صفحه ی z.مقدار مختلط نیز نقطه ای است در صفحه ی .همانگونه که در شکل( ۶-۳)نشان داده شده است ،نقاط صفحه ی z روی نقاطی از صفحه ی ،و منحنیهای صفحه یz روی منحنی های در صفحه ی نگاشته می شوند.

تابعهای متغییر مختلط
همه ی تابعهای بنیادی متغییر حقیقی را میتوان ،با نشاندن متغییر مختلط z،به جای متغییر حقیقی x،به دصفحه ی مختلط گسترش داد. این عمل نمونه ای از ادامه ی تحلیلی است که در بخش (۶-۵)توضیح داده خواهد شد. در معادله های(۶-۴) ، ( ۶-۹)و(۶-۸) که رابطه های بسیار مهمی هستند ،آن نکته توصیف می شود .با گام نهادن به صفحه ی مختلط فرصتهای تازه ای در تحلیل به وجود می آید .

مثال ۶-۱-۴فرمول دو مو آور:
اگر معادله ی (۶-۱۱)را به توان nبرسانیم،داریم
ein =(cos+i sin)n. (6.17)
اینک اگر تابع نمایی با شناسه n را بسط دهیم ،بدست میآوریم :
Cos n+i sin n=(cos +i sin )n. (6.18)
این عبارت فرمول دو مو آور است.
اکنون اگر سمت راست معادله ی( ۶-۱۸) را با استفاده از قضیه ی دو جمله ای بسط دهیم،
n Cos را بصورت سریها ی توانی از sin و cos به دست خواهیم آورد
(مساله ی ۶-۱-۵). در مسئله ها با نمونه های بیشمار دیگری از رابطه بین تابعهای نمایی ، هذلولی ،مثلثاتی در صفحه ی مختلط روبه رو خواهیم شد.
گهگاه به عبارتهای پیچیده ای هم بر میخوریم . ریشه nام عدد مختلط بصورت

بدست می آید.این تنها جواب عدد مختلط zنیست زیرا حاصل برای هر عدد صحیح mمشود n-1. جمع ریشه ها برای =۱ ۲ ۳ … n-1 m
است .بنا براین بدست آوردن ریشه ی nام یک تابع چند مقداری یا عمل کردن با nمقدار،برای یک عدد مختلطz را نتیجه میدهد.
به مثال عددی زیر توجه کنید.
۶-۱-۵ جذر ریشه
هنگامی که مجذور ریشه یک عدد مختلط با آرگومان بدست آوریم داریم ۲/ .با -۱شروع می کنیم که۱ r =در۱۸۰ = است وبا۱ r =در۹۰ = کهi است و یا داریم ۹۰ – = که
-iاست ریشه را بدست می آوریم. اینجا نسبت پیچیده تر از اعداد مختلط است:

برای n=0,1 .
مثال دیگر لگاریتم یک متغییر مختلطz است که میتوان با استفاده از نمایش قطبی بسط داد
(۶۱۹)
دوباره این جواب کامل نیست بخاطر وجود شاخه های چند گانه ی وارون تابع tan.می توانیم به زاویه ی فاز ،هر مضرب صحیحی از ۲ را بیفزاییم بدون انکه zتغییر کند به دلیل آنکه دوره ی تناوب tan، ۲ است . بنا بر این معادله ی( ۶-۱۹)را می توان به صورت زیر خواند:
(۶۲۰)
پارامتر nمیتواند هر عدد صحیحی باشد .یعنی ،lnz یک تابع چند مقداری است که تعداد مقادیر آن به ازای یک تک زوج مقادیر حقیقیr و ، نا متناهی است. برای اجتناب از این ابهام ،معمولا قرارداد میکنیم که n=0وفاز را در بازهای به طول ۲ ،مثلا (,- )،محدود میکنیم .خطی را در صفحه ی zکه قطع نمی شود ،مثل محور حقیقی منفی در مثالی که آوردیم ،خط برش می خوانند . مقدار ln z به ازای n=0را، مقدار اصلیln z می گویند.در آینده شرح این توابع ،از جمله لگاریتم در بخش( ۶.۶ )ظاهر میشود و به بررسی مشوح تر آنها می پردازیم.

شکل ۶-۴: مدار الکتریکی RLC باجریان متناوب

مثال ۶-۱-۶ مدارهای الکتریکی
دریک مدار الکتریکی با جریانIکه در مقاومت جاری می شود و بوسیله ی ولتاژVتحریک می شود قانون اهم حاکم است V=IRکه Rمقاومت است . اگر یک خود القایی L را به جای مقاومت R بنشانیم سپس ولتاژ و جریان بوسیله ی معادله ی به یکدیگر مربوط می شوند .اگر خازن Cرا به جای خود القایی Lقرار دهیم آنگاه ولتاژ به بار خازن Qبستگی دارد.V=Q/C
از معادله ی بالا نسبت به زمان مشتق می گیریم حاصل بصورت زیر بدست می آید:

بنابراین ، مداری با یک مقاومت ویک سلف و یک خازن که به طور سری بسته شده باشد (شکل ۶-۴راببینید )از معادله معمولی مختلفی پیروی میکند
(۶۲۱)
اگر مدار بوسیله ی یک ولتاژمتناوب با بسامد تحریک شود در مهندسی الکتریک آن یک سنت و قرارداد است تا ولتاژمختلط V= V0 eit و جریان I=I0 eit در همان فرم استفاده شود که جواب حالت پایا (حالت یکنواخت )در معادله( ۶-۲۱)است . این شکل مختلط فاز مختلفی بین جریان و ولتاژظاهری را نشان خواهد داد. در پایان ،مقدارهای مشاهده شده فیزیکی با بخش حقیقی نشان داده میشوند.(.etc i.e., ).اگرجانشین کنیم وابستگی زمانی نمایی را ،بااستفاده از iI = dI/dt ،و Iلحظه ای را کامل کنیم تا Q=I/i رادر معادله (۶-۲۱) بدست آوریم.،شکل مختلط قانون اهم را بدست می آوریم:

وz=R+i(L-1/c) را بصورت امپدانس (مقاومت ظاهری) معین میکنیم یک عدد مختلط V=IZرا به صورتی که نشان داده شده است بدست میآوریم. بیشتر مدارهای الکتریکی کا بردی میتواند با استفاده از فقط مقاومت ظاهری ساخته شود _آن بدون حل کردن معادله( ۶-۲۱)است
_بر طبق قوانین ترکیبی زیر:
• مقاومت Rاز دو مقاومت که بطور سری قرارگرفته اند برابر است با R=R1 + R2
• خود القایی Lاز دو القاگر که به طور سری قرار گرفته اند برابر است با۲ L =L1 +L
• مقاومت Rاز دو مقاومت که به طور موازی بسته شده اند پیروی میکند از
۱/R =1/R1 +1/R2
• خود القایی Lاز دو القاگر که به طور موازی بسته شده اندپیروی میکند از
۱/L =1/L1 +1/L2

• خازن که از دو خازن سری تشکیل شده پیروی می کند از ۱/C=1/C1 +1/C2
• خازنی که از دو خازن موازی تشکیل شده پیروی می کنداز ۲=C1 +C C
در فرم مختلط این قانونها میتوانند در شکتهای فشرده تری وضع شوند ،بصورت زیر:

• دو مقاومت ظا هری (امپدانس)سری به صورت ۲Z = Z1 +Z ترکیب می شوند.
• دو مقاومت ظا هری(امپدانس) موازی به صورت ۱/Z=1/Z1 +1/Z2 ترکیب می شوند.
خلاصه
اعداد مختلط محورهای اعداد حقیقی را به صفحه ی اعداد مختلط توسعه می دهند بطوری که هر چند جمله ای میتواند مضرب کاملی باشد .جمع وتفریق اعداد مختلط شبیه بردارهای دو بعدی در مختصات دکارتی است .

بهتر است ضرب و تقسیم اعداد مختلط در مختصات قطبی صفحه ی مختلط انجام شود .

تابع نمایی اعداد مختلط بصورت ez = ex (cos y + i sin y) داده می شود .برای ez = ex z=x+i0=x , . تابع مثلثاتی بصورت زیر میباشد :

وتابعهای هیپربولیک