مقاله در مورد فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره)

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 مقاله در مورد فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره) دارای ۱۳۴ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله در مورد فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره)  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله در مورد فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره)،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن مقاله در مورد فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره) :

فرآیندهای حالت ناپایدار و batch (پخت در کوره)

(نرم کردن با روغن داغ)
مقدمه: روابط فصل های قبل فقط در حالت پایدار به کار می روند که در آن جریان گرما و دمای منبع با زمان ثابت بودند. فرآیندهای حالت ناپایدار آنهایی هستند که در آنها جریان گرما، دما و یا هر دو در یک نقطه ثابت با زمان تغییر می کنند. فرآیندهای انتقال حرارت batch فرآیندهای حالت ناپایدار نمونه ای هستند که در آنها تغییرات حرارت ناپیوسته ای رخ می دهند همراه با مقادیر خاصی از ماده در هنگام گرم کردن مقدار داده شده ای از مایع در یک تانک یا در هنگامی که یک کوره سرد به کار افتاده است.

همچنین مسائل رایج دیگری نیز وجود دارند که مثلاً شامل می شوند بر نرخی که حرارت از میان یک ماده به روشی رسانایی انتقال می یابد در حالی که دمای منبع گرما تغییر می کند. تغییرات متناوب روزانه حرارت خورشید بر اشیاء مختلف یا سرد کردن فولاد در یک حمام روغن نمونه راههایی از فرآیند اخیر هستند. سایر تجهیزاتی که بر اساس روی خصوصیات حالتی ناپایدار ساخته شده اند شامل کوره های دوباره به وجود آورنده(اصلاحی) که در صنعت فولاد استفاده می شوند، گرم کننده دانه ای(ریگی) و تجهیزاتی که در فرآیندهای بکار گیرنده کاتالیست دمای ثابت یا متغیر به کار می روند هستند.
در فرآیندهای batch برای گرم کردن مایعات نیازمندیهای زمانی برای انتقال حرارت معمولاً می توانند بوسیله افزایش چرخه سیال batch واسطه انتقال حرارت و یا در اصلاح شوند.
دلایل به کار گرفتن یک فرآیند batch به جای به کارگیری دیگ عملیات انتقال حرارت پیوسته بوسیله عوامل زیادی دیکته می شوند:
بعضی از دلایل رایج عبارتند از ۱) مایعی که مورد فرآیند قرار می گیرد به صورت پیوسته در دسترس نیست ۲) واسط گرم کردن یا سرد کردن به طور پیوسته در دسترس نیست ۳)نیازمندیهای زمان واکنش یا زمان عملکرد متوقف شدن را ضروری می سازد ۴) مسائل اقتصادی مربوط به مورد فرآیند قرار دادن متناوب یک batch وسیع ذخیره یک جریان کوچک پیوسته را توجیه می کند ۵)تمیز کردن و یا دوباره راه‌اندازی کردن یک بخش برای دوره کاری است و ۶)عملکرد ساده بیشتر فرآیندهای batch سودمند و خوب است.

به منظور مطالعه کردن منظم و با قاعده رایج ترین کابردهای فرآیندهای انتقال حرارت حالت ناپایدار و batch ترجیح داده می شود که فرآین

دها را به دسته های Ca مایع (سیال) گرما دهنده یا خنک کننده و b) جامد خنک کننده یا گرم کننده تقسیم کنیم.
رایج ترین نمونه ها در ذیل آورده شده اند:
۱)مایعات سرد کننده و گرم کننده

a) batchهای مایع b)تقطیر batch
۲)جامدات خنک کننده یا گرم کننده
a)دمای واسط ثابت b)دمای متغیر دوره ای c)دوباره تولید کننده ها
d)مواد دانه ای در بسته ها

مایعات سرد کننده و گرم کننده
۱)batch دمای مایع
مقدمه
بومی، مولر و ناگل رابطه ای برای زمان مورد نیاز را برای گرم کردن یک batch تکان داده شده بوسیله غوطه ورسازی یک کویل گرم کننده بدست آورده اند که برای زمان که اختلاف دما معادل LMTD (اختلاف دمای میانی لگاریتمی) برای جریان روبه رو داده شده.
فیشر محاسبات batch را گسترش داده است برای شامل شدن یک جدول خارجی جریان مقابل، چادوک و سادرنر batchهای تکان داده شده را مورد بررسی قرار داده اند که با مبدل های خارجی جریان مقابل همراه با اضافه سازی پیوسته مایع به تانک گرم شده اند همچنین به میزان حرارت در این راه حل پرداخته اند.
بعضی از روابطی که به دنبال می آیند برای کویل ها در تانک ها و محفظه های پوشانده شده به کار می روند. اگرچه روش بدست آوردن ضرائب انتقال حرارت برای این اجزاء تا شکل ۲۰ به تعویق انداخته شده است.
تشخیص دادن حضور یا عدم حضور تکان در یک مایع batch همیشه امکانپذیر نیست. گرچه دو مقدمه فوق منجر به نیازمندیهای متفاوتی برای نائل شدن به یک تغییر دمای batch در یک دوره زمانی داده شده می شوند.
زمانی که یک محرک مکانیکی در یک تانک یا محفظه همانند شکل ۱‌۱۸ نصب می‌شود نیازی به این پرسش که سیال تانک تکان داده ش

ده نیست.
زمانی که محرک مکانیکی وجود ندارد ولی سیال به طور پیوسته در حال گردش است ما نتیجه این که batch تکان داده شده است یک نوع احتیاط و دوراندیشی است.
در بدست آوردن معادلات batch در ذیل T به مایع داغ batch یا واسط گرم کردن اشاره می کند. T به مایع سرد batch یا واسط خنک س

ازی اشاره دارد. موارد ذیل در این جا مورد بررسی قرار می گیرند.
Batchهای خنک سازی یا گرم سازی متلاطم جریان متقابل
– کویل در تانک یا محفظه پوشانده شده، واسط ایزوترمال
– کویل در تانک یا محفظه پوشانده شده، واسط غیر ایزوترمال
– مبدل خارجی، واسط ایزوترمال
– مبدل خارجی، واسط غیر ایزوترمال
– مبدل خارجی مایع پیوسته اضافه شده به تانک، واسط ایزوترمال
– مبدل خارجی مایع پیوسته اضافه شده به تانک، واسط غیر ایزوترمال
batchهای خنک ساز یا گرم کننده متلاطم، جریان متقابل موازی
مبدل ۲-۱ خارجی
مبدل ۲-۱ خارجی، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک
مبدل ۴-۲ خارجی
مبدل ۴-۲ خارجی، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک
batchهای گرم ساز و خنک کننده بدون تکان دهی
مبدل جریان مقابل خارجی، واسط ایزوترمال
مبدل جریان مقابل خارجی، واسط غیر ایزوترمال
مبدل ۲-۱ خارجی
مبدل ۴-۲ خارجی

batchهای تکان داده شده خنک ساز و گرم کن
چندین راه برای در نظر گرفتن فرآیندهای انتقال حرارت batch وجود دارد. اگر تکمیل کردن یک عملکرد معین در زمان داده شده مطلوب باشد، سطح مورد نیاز معمولاً مجهول است. اگر سطح انتقال حرارت معلوم است، مانند نصب فعلی زمان مورد نیاز برای تکمیل کردن عملکرد معمولاً نامعین است و یک حالت سوم زمان پیش می آید که زمان و سطح هر دو معلوم هستند ولی دما در پایان زمان مورد نظر مجهول است. فرضیات زیرین در بدست آوردن معادلات ۱/۱۸ تا ۲۳/۱۸ در نظر گرفته شده اند:
۱)برای فرآیند و تمام سطح ثابت است
۲)نرخهای جریان مایع ثابت هستند

۳)گرماهای ویژه برای فرآیند ثابت هستند
۴)واسط گرم سازی یا خنک سازی یک دمای ورودی ثابت دارد
۵)تکان دهنده یک دمای سیال batch یکسان و یکنواخت فراهم می کند.
۶)هیچ گونه تغییر فاز جزیی رخ نمی دهد
۷)تلفات گرمایی قابل اغماض هستند.

Batchهای تکان داده شده خنک ساز یا گرم کننده جریان متقابل
– کویل در تانک یا محفظه پوشانده شده واسط گرم کننده ا

یزوترمال
ترتیب نشان داده شده در شکل ۱/۱۸ را در نظر بگیرید، شامل یک محفظه تکان داده شده شامل M پوند از مایع با گرمای ویژه c و دمای اولیه که بوسیله یک سیال متراکم شونده با دمای گرم می شود. دمای batch، در هر زمان بوسیله تعادل گرمایی دیفرانسیلی داده می شود. اگر مقدار کل btu انتقال یافته است در این صورت به ازای واحد زمان

۱۸/۴
با انتگرال گیری از تا در هنگامی که زمان اثر به می رسد،
۱۸/۵
کاربرد یک رابطه مانند ۵/۱۸ نیازمند محاسبه مستقل V برای کویل یا محفظه پوشانده شده همانند مشعل ۲۰ است فصل ۲۰ است. با Q و A ثابت بوسیله شرایط فرآیند زمان گرم سازی مورد نیاز می تواند محاسبه شود.

کویل در تانک یا محفظه پوشانده شده، واسطه خنک سازی ایزوترمال
مسائل این نوع معمولاً در فرآیند دمای پایین رخ می دهد که در آنها واسط خنک کننده یک مبردات که به جزء خشک سازی در دمای جوش ایزوترمالش تغذیه می‌شود. مطابق با همان ترتیب نشان داده شده در شکل ۱/۱۸ شامل M پوند از مایع با گرمای ویژه C و دمای اولیه که با یک واسط بخار شونده با دمای خنک می شود اگر دمای batch در هر زمان باشد.
۱۸/۶

۱۸/۷

کویل در تانک یا محفظه پوشانده شده، واسط گرم ساز غیر ازوترمال
واسط غیر ایزوترمال گرم کننده برج جریان ثابت W و دمای ورودی دارد ولی دمای خروجی متغیر است.
۱۸/۸

قرار می گذاریم که و با دمای پنداشتی a و b را معادله ۸/۱۸ در این I

۱۸/۹

کویل در تانک، واسط خنک ساز غیر ایزوترمال

۱۸/۱۰

۱۸/۱۱

مبدل حرارت خارجی، واسط گرم کننده ایزوترمال
ترتیب شکل ۲/۱۸ را در نظر بگیرید در آن سیال بوسیله یک م

بدل خارجی گرم می‌شود. از آنجایی که واسط گرم کننده ایزوترمال است، هر نوع مبدل با بخار در پوسته یا لوله می تواند به کار برده شود. امتیازات گردش اجباری برای هر دوره این ترتیب را پیشنهاد می کند.
دمای متغیر بیرون از مبدل از دمای متغیر تانک متمایز است و تعادل گرای دیفرانسیلی برای این وسیله داده می شود:
۱۸/۱۲

با فرض

مبدل بیرونی، واسط خنک کننده ایزوترمال
۱۸/۱۴
مبدل بیرونی، مبدل گرماساز غیر ایزوترمال، تعادل حرارت دیفرانسیلی بدین وسیله داده می شود.
۱۸/۱۵
دو دمای متغیر و وجود دارند که در LMTD ظاهر می شوند که باید در ابتدا حذف شوند.
با معادل گرفتن a و b در معادله ۱۵/۱۸

اجازه دهید که باشد و

مبدل خارجی محل خنک کننده غیر ایزوترمال

مبدل خارجی، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک، واسط گرم کننده ایزوترمال، اجزای فرآیند در شکل ۳/۱۸ نشان داده شده اند، مایع تدریجاً با نرخ و سرمای ثابت به تانک اضافه می شود فرض شده است که هیچگونه تأیرات حرارتی شیمیایی همراه با اضافه سازی آب به تانک وجود ندارد.
از آنجا که M پوند مایع ابتدایی در batch میزان پوند در ساعت است، مقدار مایع کلی در هر زمان است. تعادل گرمایی و دیفرانسیلی به این صورت خواهد بود.
۱۸/۸

و
از آنجایی که
با حل نسبت به

با جانشینی در معادله ۱۸/۱۸

اگر اضافه کردن مایع به تانک باعث ایجاد یک گرمای درونی یا بیرونی میانگین انحلال شود، ترکیب ، می توان آن را با اضافه کردن به صورت عدد مخرج کسر سمت چپ در نظر گرفت زیرنویسی ۰ به ترکیب اشاره دارد.

مبدل خارجی مایع تدریجاً اضافه شده به تانک، واسط خنک کننده ایزوترمال

حرارت آثار از حلال می تواند با اضافه کردن به صورت و سمت چپ در نظر گرفته شود؟
مبدل خارجی، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک، واسط گرم کننده غیر ایزوترمال
تعادل حرارتی برابر با دما، معادله ۸۱/۱۸ برای گرم کردن است به استثنای اینکه برای دمای ورودی و خروجی واسط گرم کننده است.

با قرار دادن

آثار گرمای انحلال می توانند با اضافه کردن به صورت و مخرج کسر سمت چپ در نظر گرفته شوند.

مبدل خارجی، مایع تدریجاً اضافه شده ه تانک، واسط خنک کننده ایزوترمال

آثار گرمای انحلال می توانند با اضافه کردن به صورت و مخرج سمت چپ در نظر گفته شوند. Batchهای تکان داده شده (متلاطم) خنک کننده و گرم کننده، جریان متقابل- جریان موازی مشتقات مواد قبلی شامل فرض می شدند، که به مبدلهای تمام خارجی نیاز دارند که دو جریان متقابل کار می کردند با واسط های خنک کننده و گرم کننده غیر ایزوترمال این موضوع همیشه سومند نخواهد بود.
به این دلیل که ساختار امتیازات مربوط به کارایی را فدای تجهیزات چند گذره ای مانند مبدل ۲-۱ می کند. مبدل خارجی ۲-۱ می تواند با استفاده کردن از اختلاف دمایی تعریف شده در معادله ۳۷-۷ مد نظر قرار بگیرد.
۳۷-۷
و

۲۴/۱۸
بدین ترتیب
و s به همان خوبی R یک ثابت است که از دمای خروجی مبدل مستقل است.

مبدل خارجی ۲-۱، گرم کردنادله ۱۵/۱۸

۲۵-۱۸
با بازآرایی،
که S با معادله ۲۴-۱۸ تعریف می شود.
مبدل خارجی ۲-۱، خنک کردن،
۲۶-۱۸
که مجدداً با رابطه ۲۴-۱۸ تعریف می شود.
مبدل خارجی ۲-۱، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک، گرمایشی
۲۷-۸

با ساده سازی

۲۸-۱۸

که s به وسیله معادله ۲۴/۱۸ تعریف می شود. آثار گرمایی انحلال می تواند با اضافه کردن به صورت و مخرج معادله سمت چپ در نظر گرفته شوند.

مبدل خارجی ۲-۱، مایع تدریجاً اضافه شده به تانک، خنک سازی
۲۹/۱۸

که S به وسیله معادله ۲۴/۱۸ تعریف می شود. آثار گرمای می تواند با اضافه کردن به صورت و مخرج سمت چپ در نظر گرفته شود.
Batchهای متلاطم خنک کردن و گرم کردن، جریان موازی- جریان متقاطع
معادله ۵/۸ نسبت های دماهای واقعی را برای مبدل ۲۴ می دهد. این موضوع می تواند با عبارتهای شامل دوباره بازآرایی شدن و معادل های زیر را بدهد:

۳۲/۱۸
از آنجا که نمی تواند به صورت ساده بیان شود، معادله ۳۱/۱۸ باید با سعی و خطا و با در نظر گرفتن مقادیر s تا زمانی که یک تساوی بدست آید، حل شود.
مبادلات گرم کردن و سرد کردن همان هایی هستند که برای مبدل ۲-۱ بعد یافتند به استثنای اینکه مقدار s از رابطه ۳۱/۱۸ جانشینی مقدار s در رابطه ۲۴/۱۸ می شود. آثار گرمای انحلال می توانند به همان ترتیب مبدلهای ۲-۱ مورد نظر قرار بگیرند.

خنک کردن و گرم کردن بدون تلاطم (تکان دادن)
در فصل ۲۰ دیده خواهد شد که تلاطم پوسته را ا

فزایش می دهد و از همین رو نیازمندیهای زمانی سیالهای گرم کننده و سرد کننده را که بوسیله کویل در تانک عمل کننده کاهش می دهد، با مبدلهای خارجی حضور تلاطم، چه به قصد و یا ناخواسته، به طور کاملاً برعکس زمان مورد نیاز گرم کردن یا سرد کردن یک batch افزایش می‌دهد.
این موضوع می تواند با یک تحلیل ساده روشن شود با مراجعه به معادله ۴/۱۸، batch با دمای اولیه t از میان یک مبدل خارجی می گذرد و به تانک باز می گردد جایی که به عنوان یک لایه گرمایی شکل می گیرد. موضوع می تواند این طور باشد اگر مایع نسبت غلیظ باشد و یا محفظه بلند و باریک باشد. تمام مایع با دمای تانک t و در خلال اولین گردش وارد مبدل می شود و با دمای که دمای تغذیه به مبدل در گردش دوباره بعدی است خ

ارج می شود. اگر با تلاطم چه اولین خروح مایع از مبدل با مایع batch مخلوط می شود و سریعاً دما را به بالای دمای اولیه t می رساند. این در عوض اختلاف دما را در مبدل کاهش می دهد و زمان مورد نیاز برای یک انتقال حرارت خاص را افزایش می دهد.
مقدار مایع batch اولیه را M پوند فرض کنید و فرض کنید که این مایع از میان مبدل با نرخ گردشی یافته است. از آنجا که تغییر دمای مطلقی با هر کوره ای دوباره وجود دارد، فرآیند با یک تغییر دمای دیفرانسیلی توضیح داده نمی شود.
اگر مقدار تعداد گردشی لازم برای نائل شدن به یک دمای نمایی batch، N باشد زمان با این معادله داده می شود.

مبدل جریان متقابل خارجی، واسط گرم کننده ایزوترمال

برای گردش اولیه:
برای اولین گردش موجود:
بر حسب و :
یا ۳۳/۱۸
که زمانی که برای N چرخه حل شود:
۳۴/۱۸
می توان یک نوع پیش بینی افزایش پیوسته مایع از طری محاسبه دمای مخلوط مبدل بعد از هر چرخه انجام داد. در این مورد اندازه خود batch باید همراه با افزایش در هر چرخه مورد بررسی قرار بگیرد. بنابراین معادله ۳۴/۱۸ نمی تواند مورد استفاده قرار بگیرد مگر اینکه M با مقدار در خلال هر گردش مجدد افزایشی یابد. زمان کلی همانند بالا جمع تمام محاسبات منفرد خواهد بود.

مبدل جریان مقابل خارجی، واسط خنک کننده ایزوترمال
۳۳/۱۸

مبدل جریان متقابل خارجی، واسط گرم کننده غیر ایزوترمال
دمای خروجی batch و واسط گرم کننده بعد از هر گردشی مجدد مجهول است. مورد فعلی به سادگی موارد قبلی که واسط ایزوترمال بود، فرمول بندی نمی شود. گرچه جواب می تواند در یک سری بیان شود، ولی ارزیابی کردن آن طولانی و خسته کننده است و با محاسبه تغییرات دما بعد از هر گردشی جدد سرعت بیشتری خواهیم داشت. نسبت های دما بعد از هر گردشی دوباره می تواند بدین ترتیب تعریف شود.

برای گردش اولیه:۳۷/۱۸
و برای گردش دوباره:
که با کاربرد دما از محاسبات قبلی برای هر چرخه حل می شود.

مبدل جریان مقابل خارجی، واسط خنک کننده غیر ایزوترمال
بعد از هر گردشی دوباره ۳۸/۱۸

مبدل ۲-۱ خارجی، خنک سازی و گرم کردن
این مورد می تواند همانند مورد قبلی مورد محاسبه ق

رار گیرد اما با توجه به تعریف S در معادله ۲۴/۱۸ حتی با استفاده از جدول شکل ۲۵/۷ و محاسبه جداگانه هر مرحله می توان به ساده سازیهای بیشتری نیز دست یافت. اضافه سازی پیوسته مایع در هر مرحله می تواند همگام با گرمای انحلال مورد محاسبه قرار گیرد.

مبدل خارجی ۴/۲ گرم کردن و سرد کردن
این مورد همانند قبلی است به استثنای اینکه s با معادله ۳۱/۱۸ و یا شکل ۷/۸ تعریف می شود.
مثال ۱/۱۸ محاسبه گرمای batch
۷۵۰۰ گالن از بنزین مایع فشار در دمای برای هر فر

آیند استخراج batch مورد نیاز است. دمای ذخیره بنزن است. به عنوان یک واسط گرم سازی جریان روغن با دمای و نرخ در دسترسی است. یک پمپ که به تانک وصل شده است قاد به گردش بنزن است. برای این منظور یک سطح مبدل دو لوله ای تمیز به مساحت که جریان مقابل است در دسترسی است که Vc معادل ۵۰ برای نرخ جریا ارائه می کند.
a) چقدر طول می کشد تا batch متلاطم با استفاده از مجموعه دو لوله ای جریان مقابل گرم شود؟
b) با استفاده از یک مبدل ۲/۱ با همان سطح و ضریب چقدر طول می کشد؟
c) با یک مبدل ۲۴ با همان سطح و ضریب چقدر طول می کشد؟
d) در مورد a اگر محفظه batch خیلی بلند باشد و batch متلاطم فرض نشود زمان مورد نظر چقدر خواهد بود؟
راه حل:
a)این مورد با معادله ۱۶/۱۸ مطابقت می کند.
وزن مخصوص بنزن= ۸۸/۰
گرمای مخصوص بنزن: ۴۸/۰
b)

با قرار دادن در معادله ۱۶/۱۸

b)این مورد با معادله ۲۵/۱۸ مطابقت می کند که در آن S با معادله ۲۴/۱۸ و با معادله ۲۵/۱۸ تعریف می شوند.

c) با استفاده از s از معادله ۳۱/۱۸

با حل معادله ۳۱/۱۸ به کمک سعی و خطا

d)با استفاده از معادله ۳۷/۱۸ و s از معادله ۳۶/۱۶

در واقع یک عدد اعشاری برای محاسبات مورد نیاز است. اگر مسئله بتواند از نقطه نظر گرمای کلی وارد شود به batch مورد بررسی قرار بگیرد، داریم:
اعشار گردش=x

گردش های کل

این مقدار با عدد ۱۵/۵ برای batch متلاطم مقایسه می شود.
۱b)تقطیر batch
معرفی: ترتیبات متداول برای تقطیر batch در شکلهای ۵/۱۸ و ۶/۱۸ نشان داده شده‌اند.
دیگ تقطیر با یک batch مایع پر می شود، و گرما با یک کویل یا یک دوباره گرم کن با چرخه اجباری یا طبیعی فراهم می شود. در بعضی تجهیزات با دمای بالا دیگر تقطیر می تواند مستقیماً در معرض آتش قرار بگیرد.
تقطیر batch معمولاً زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که ذخیره سوخت برای تضمین عملکرد مداوم ناکافی باشد و محل نسبتاً کوچک باشد.
در تقطیر batch ترکیب دمای مایع ته نشین در تعرق دائماً تغییر می کند و معمولاً همان هوا برای متراکم کردن به کار می رود به استثنای زمانی که تقطیر مورد استفاده قرار گرفته یا یک مخلوط با جوشش ثابت را تشکیل می دهد. در تقطیر batch مکان بدست آوردن یک درصد کسری بالا که خالص تر از جریان برگشت بوسیله تقطیر پیوسته است، وجود دارد. این موضوع به طور ویژه هنگامی مفید است که تولید اضافی با درجات مختلفی همراه با امتیاز خلوص بالا به فروش رود.
همچنین بوسیله تغییر مداوم نسبت جریان بازگشت می توان به یک ترکیب اضافی تقریباً یکنواخت دست یافت گرچه مقدار آن به طور مداوم کاهش می یابد. مورد اخر برای عموم معمولاً بیش از حد دیگران است. تغییر ترکیب در خلال تقطیر batch برای یک مخلوط ثانویه بوسیله معادله ریلی داده می شود:
۳۹/۱۸
مولهای مایع تغذیه شده به تقطیر
مولهای باقیمانده بعد از تقطیر
کسر مولی اجزاء در سبک در مایع
کسر مولی اجزاء سبک در باقیمانده
کسر مولی بخار د تعادل با x
اگر مخلوط ایده آل نیست و از قوانین رائول و هنری تبعیت نکند
دما باید از یک منحنی نقطه جوش بدست آید. معادله رایلی شامل هیچ عبارتی از زمان نیست. بنابراین زمان تعیین شده برای تقطیر از هر مقدار تغذیه مستقل است. اگر batch جمع شدن متناوب یک جریان متعلق به منبع ذخیره را برای چند ساعت را ارائه کند، نرخ تقطیر باید طوری باشد که دیگ بخار خالی شده و برای پر شدن بعدی آماده باشد. اگر تقطیر به طور غیر متناوب رخ می دهد، نرخ تقطیر می تواند به طور اقتصادی با وجه به بهینه رابطه بین تغذیه ثابت و در حال کار انتخاب شود. در تقطیر batch هزینه کاری به طور خاصی بالاست و تقطیر سریع را مطلوب می سازد ولی از طرف دیگر هزینه و قیمت تجهیزات نیازمند نرخ آهسته تر تقطیر است.

دوباره گرم ساز و چگالنده:
شرایط طراحی برای هردوی گرم ساز و چگالنده معمولاً بر اساس محدودیتهای عملکرد پایه گذاری می شود. سیستم تقطیر خیلی رایج به طور اتوماتیک توسط یک برنامه و یا کنترل کننده گذر زمان کنترل می شود (شکل ۲۸/۲۱ را ببینید) به طوری که واسط گرم کننده در یک نرخ خاصی تولید می شود باعث افزایش ثابتی در دمای جوش می‌شود. ا

گر یک واسط گرم کننده مانند یک بخار در یک نرخ ثابت به دوباره گرم ساز batch تغذیه می شد بیشتر آن در دوباره گرم ساز و به دنبال نخستین دوباره تبخیر سریع که باقیمانده به طور مویی گرم می شود متراکم نمی شد، منبع ذخیره یک مخلوط است که اجزای سبکی دارد که همان طور که تقطیر پیش می رود باقیمانده ها را در یک نرخ رو به کاهش دفع می کند. در نتیجه دمای جوش باقیمانده همان طور که اجزاء تخلیه می شوند افزایش می یابد. همان طور که در بار در دیگ تقطیر افزایش می یابد ضریب انتقال حرارت مؤثر باقیمانده کاهش م

ی یابد فرض کنید که جریان با نقطه جوشی اولیه برای تبخیر مورد استفاده قرار می گیرد و تقطیر باید جایی که ترکیب باقیمانده با نقطه جوشی مطابقت کند، قطع شود. یک منحنی تقطیر را به کمک روش های فصل ۱۳ می توان آماده کرد، ضرائب آنی م

ی‌تواند هم برای شروع و هم برای خاتمه از اختلاف های نزدیک گرمای ورودی مورد محاسبه قرار گیرند. در هنگام شروع که ضریب پوسته و بار گرمایی بالا هستند اختلاف دما می‌شود
ولی در دمای قطع فرآیند، که ضریب پوسته و بار گرمایی پایین هستند، اختلاف دمایی فقط می شود هر دو شرایط باید برای V و مورد امتحان قرار گیرند تا معلوم شود که کدام یک به سطح بیشتری احتیاج دارند.
عوامل مؤثر در چگالنده متفاوت هستند. نرخ آب معمولاً ثابت نگه داشته می شود. در شروع تقطیر دمای بخار بالایی ممکن است نزدیک باشد و آب با اختلافی از ۸۵ تا ، LMTD معادل با تولید می کند.
در هنگام قطع فرآیند بخش بالایی ممکن است دمای داشته باشد، مطابق با یک اختلاف دمای درجه ای یا بیشتر، تغییر میزان آب یا گرما کوچکتر خواهد بود. ضریب تراکم کمی بالای مقدار کلی تغییر خواهد کرد. بنابراین شرایط محدود کننده برای چگالنده در ابتدای تقطیر است، جایی که حداکثر بار گرمایی و حداکثر اختلاف دمایی معمولاً همراه با هم رخ می دهند.
یک تمرین برای برای بدست آوردن بار گرمایی برای گرم ساز مجدد و چگالنده بدون مراجعه کردن به منحنی تقطیر، بدست آوردن بار حرارتی کل و تقسیم آن بر زمان تخصیص یافته برای تقطیر است. این روش یک میانگین بار حرارتی ساعتی ساختگی بدست می دهد که بزرگتر از مقدار نهایی است ولی معمولاً کمتر از بار حرارتی آغازین است. مقدار Q که بدیت ترتیب بدست آمد با مقدار u و در هنگام در دماهای شروع و خاتمه جمع می شود، و مقدار سطح بزرگتر محاسبه شده همراه با مقدار مجازی به عنوان خطا مورد استفاده قرار می گیرد. اگر جزء گرم سازی برای پیش گرم کردن تغذیه استفاده شده است، بسیار مطلوب است که نرخ پیش گرم سازی محدود شده باشد. زمان لازم برای پیش گرم سازی می تواند از یکی معادله های batch در قسمت قبلی بدست آید.

جامدات خنک کننده و گرم کننده
۲a)دمای میانی ثابت
مقدمه: از هنگام ظهور فوریهو کار او در رسانایی گرما علاقه و توجه ریاضی دانان و فیزیکدانان زیادی به این موضوع جلب شده است، بنابراین در اینجا تنها معرفی تعدادی از ساده ترین و مورد استفاده ترین موارد و ارائه ساختار کلی مورد مطالعه میسر است. خواننده به کتابهای عالی که در زیر صفحه مختصراً معرفی شده اند ارجاع می شود. این کتابها موضوع را با جزئیات بسیار بیشتر مورد بررسی قرار می دهند و راه حلهای برای تعدادی از مسائل ویژه ارائه می دهند و همچنین موضوع را با ریاضی و هندسه پیچیده تری بررسی می کنند.
در بررسی رسانایی حالت ناپایدار ساده ترین نوع مسائل آنهایی هستند که سطح جامد ناگهان دمای جدیدی پیدا می کند که این دما ثابت می ماند. این موضوع تنها زمانی می تواند اتفاق بیفتد که ضریب پوسته سطح نسبت به یک واسط انتقال حرارت ایزوترمال بی نهایت باشد و گرچه کاربردهای عملی زیادی از این دو نوع وجود ندارند، این نوع مسائل یک گام اساسی برای نیل به راه حل مسائل بی شماری می باشد. به طور معمول، گرم کردن یا سرد کردن شامل یک ضریب پوسته متناهی می شود، و یک مقاومت تماسی بین واسط و سطح گسترش می یابد به نحوی که سطح هرگز به دمای واسط نمی رسد. علاوه بر این

، دمای سطح به طور دائم و همین طور که جامد گرم می‌شود در حال تغیر است حتی اگر دمای واسط ثابت باقی بماند. این موضوع نیز ممکن است اتفاق بیفتد که دمای خود واسط تغییر کند، ولی این گونه مسائل به طور جداگانه در قسمت بعدی مورد بررسی قرار خواهد گرفت. مواردی که در این بخش مورد بررسی قرار می گیرند شامل آنهایی هستند که ضرائب پوسته متناهی هستند و یا مقاومت های تماسی به خوبی موارد با ضرائب

بی نهایت وجود دارند.
مباحث ذیل مورد بحث هستند:
– تغییر ناگهانی دمای سطح (ضریب بی نهایت)
دیوار با ضخامت امتناهی از یک طرف گرم شده
دیوار با ضخامت متناهی از یک طرف گرم شده
دیوار با ضخامت متناهی از هر دو طرف گرم شده
میله چهار وجهی، مکعب، سیلندر با طول بی نهایت، سیلندر با طول معادل با قطرش، کره
– تغییرات به دلیل داشتن مقاومت تماسی:
دیوار با ضامت متناهی
سیلندر با طول بی نهایت، کره، جامد نیمه متناهی
روشی نیومن برای شکلهای ساده یا ترکیبی
توزیع گرافیکی برای پراکندگی زمان- دما

-دیوار با ضخامت نامتناهی، گرم شده روی یک طرف
یک دیوار با ضخامت نامتناهی با یک دمای اولیه یکنواخت تحت تأثیر محیطی با دمای ثابت T8 قرار دارد. این طور فرض شده است که مقاومت تماسی بین واسط و سطحی که با آن تماس دارد وجود ندارد، بنابراین دمای سطح دیوار نیز T8 خواهد بود.
این موضوع با سرد کردن معمولی که در آن یک مقاومت تماسی کاملاً معین وجود دارد کاملاً فرق می کند.
معادله کلی رسانایی بوسیله معادله ۱۳/۲ داده شده است. برای یک دیوار با ضخامت نامتناهی این معادله به حالت جریان گرمای غیر مستقیم داده شده توسط معادله ۱۲/۲ کاهش می یابد. عبارت پخش شدن گرمایی را که فقط شامل خواص ماده رسانا است، توجیه می کند. یا نامگذاری این عبارت به ، رسانای می تواند به این گونه ارائه شود.

با در نظر گرفتن اینها به عنوان یک نقطه شروع، تنظیم کردن تعدادی معادله که تغییرات دما را با زمان و مکان در تمام یک جامد توصیف می کنند، ممکن خواهد شد. توجه داشته باشید که این جمع جامد از یک طرف ناگهان در معرض یک چشمه حرارتی قرار می گیرد. گرچه هنوز این موضوع ضروری است که معادله شامل عبارت نمایی، شرایط مرزی تحمیل شده به سیستم را نیز برآورده کند. معمول ترین معادله این نوع بدین ترتیب

است.

که در آن ، و اعداد ثابت هستند. یک نوع اصلاح معادله ۴۰/۱۸ که مسئله مورد بحث را توصیف می کند و در ضمن شرایط مرزی بی شماری را برآورد می کند بوسیله شک و بدین ترتیب داده می شود،
۴۱/۱۸
که عبارت بلافاصله به عنوان انتگرال احتمال یا انتگر

ال خطای گاوس با ارزش بین ۰ تا ۱ شناسایی می شود. شرایط مرزی برای یک دیوار نامتناهی که از یک طرف گرم شده، اینها هستند: زمانی که ، ، که دمای ابتدایی یکنواخت جمع جامد است.
هنگامی که و و باشد که در آن دمای دیواره است که مستقیماً در تماسی با دمای محیط می باشد.
زمانی که و دمای دیواره طبیعتاً دمای اولیه اش یعنی را می یابد یا
۲۴/۱۸
این موضوع تنها در صورتی می تواند معتبر باشد باشد، در غیر این صورت باید همراه با x تغییر کند در حالی که این طور فرض شده بود که ثابت است. بنابراین

با قرار دادن ثابت ها در معادله ۴۱/۱۸

یا به فرم خلاصه
۴۳/۱۸
که مقدار انتگرال خطا را در غالب گروه بی بعد بیان می کند. مقادیر انتگرال در شکل ۷/۱۸ رسم شده اند.
معادله ۴۳/۱۸ می تواند به طرز ساده تری این گونه نوشته شود
۴۴/۱۸
معادله ۴۴/۱۸) به طور واضح به گونه ای است که دمای t در هر فاصله x و هر زمان می تواند معین شود. یک نتیجه مشابه را می توان به کمک تحلیل بی بعد بدست آورد. برای واحد سطح جریان گرما می تواند بوسیله رابطه ۵/۲ بدست آید.
۴۵/۱۸
که Q نرخ جریان است. برای بدست آوردن از رابطه برای t در معادله ۴۴/۱۸ مشتق انتگرال خطا به این صورت می شود.
۴۶/۱۸
و معادله ۴۵/۱۸ بدین ترتیب کاهش می یابد

مقادیر نمایی در شکل ۸/۱۸ رسم شده اند.
جریان گرما از میان سطح زمانی که باشد بدست می آید که می شود
۴۸/۱۸
و بعد از ساعت کل گرمایی که وارد دیوار خواهد شد یا آن را ترک می کند، خواهد شد

که مقدار btu است.
مثال ۲/۱۸) جریان گرما از میان دیوار

مطلوب است دمای یک فولاد ضخیم ۴ اینچ زیر سطح داغش و چهار ساعت بعد از اینکه دمای یکنواخت آن بوسیله بکار بردن یک دمای ناگهانی در یک طرفش، تغییر می کند.
چقدر گرما در آن هنگام به درون دیوار راه خواهد یافت و چقدر قبل از آن به درون دیوار راه یافته است؟
راه حل: با بکار بردن معادله ۴۴/۱۸:
خصوصیات فولاد: فرض کنید.

از شکل ۷/۱۸ برای داریم
۴۳/۱۸

جریان گرمای عبور از صفحه ۴in از سطح و بعد از ۴ ساعت از بکار بردن چشمه گرمایی بوسیله معادله ۴۷/۱۸ داده می شود:
۴۷/۱۸

گرمای کلی که از میان یک فوت مربع از دیوار در ۴ ساعت می گذرد با معادله زیر داده می شود:
۴۹/۱۸

دیوار با ضخامت متناهی از یک طرف گرم شده
معادلات گسترشی در بخش قبل برای دیوار نامتناهی می توانند برای دیوارهای با ضخامت متناهی نیز به کار روند. اگر دیوار متناهی نسبتاً ضخیم باشد، توزیع دما- فاصله برای یک دوره کوتاه بعد از گرم کردن می تواند تقریباً برابر مقدار مربوط به دیوار نامتناهی باشد. اگرچه همین طور این دوره طولانی تر می شود، نفوذ گرما از میان دیوار به طرف سدش افزایش می یابد. شک این مسئله را با توجه به اینکه دیوار متناهی را می توان با دوقلو کردن دیوار نامتناهی ساخت، مورد تحلیل قرار داده است. این موضوع می تواند درست باشد اگر همان جریان گرمایی از سطح دور دیوار متناهی بگذرد که می توانست به طور معمولی از میان یک صفحه در یک دیوار نامتناهی بگذرد که همان فاصله را از سطح داغ داشته باشد. اگر دمای سطح دور یک دیوار متناهی به ضخامت ۱ فوت باشد، جریان گرما در هر فوت مربع از سطح دور خواهد شد.
۱۸/۵۰a
و این معادل معادل است با جریان گرما در یک دیوار به فاصله از سطخ داغ
۱۸/۵۰b
با یکی گرفتن دو نرخ گرمای انتقالی به منظور دوباره بدست آوردن توزیع گرمای یک دیوار نامتناهی خواهیم داشت.

اگر مقدار تقریباً یک باشد، افزایش دما در سطح دور بسیار کوچک خواهند بود. اگر مقدار از ۶/۰ تجاوز کند برای بیشتر کاربردهای صنعتی استفاده مستقیم از معادله ۴۴/۱۸ امکان پذیر خواهد بود.

دیوار با ضخامت متناهی، گرم شده از هر دو طرف
در یک مطالعه مربوط به توزیع زمان- دما در خلال سرد کردن آهسته شیشه مربوط به کارهای بصری، ویلیامسون و آدامز روابطی برای بدست آوردن دمای مرکزی، خط مرکزی و صفحه مرکزی تعدادی از شکل ها که سطح آنها ناگهان در مجاور یک منبع حرارتی با ضریب پوسته بی نهایت قرار گرفته بود، بدست آوردند. در میان این شکل ها ورقه های بی نهایت پهنی، میله چهارگوش، مکعب، سیلندر با طول بی نهایت، سیلندر با طول معادل با قطر، و کره وجود دارند. از آنجا که تنها در یک لوحه (ورقه) جریان گرما هم امتداد با یک محور منفرد وجود دارد، پیچیده بودن معادلات در سایر شکل قابل انتظار است. وقتی که ج

ریان حرارت قرینه است، استفاده کردن از خط مرکزی یا صفحه مرکزی به عنوان مربع فاصله بسیار راحت تر است. در این صورت شرایط مرزی سطح با مطابقت خواهند کرد و خط مرکزی یا صفحه مرکزی با ویلیامسون و آدامز معادلات با توجه به عبارات سری فوریه بدست آوردند. برای ورقه نامتناهی معادله از این قرار است:

همین طور که افزایشی می یابد، سری سریع تر همگرا می شود تا مانی که در تنها عبارت اول اهمیت خواهد داشت. روش حل تمام شکلهای پیش گفته شده می تواند در عبارتهای یک سری بیان شود. ویلیامسون و آدامز محاسباتشان را در فرم ساده شده بدین ترتیب ارائه داده اند:
۵۲/۱۸
a52/18
مفهوم سری بوسیله بیان شده است که در آن عمق یا قطر اصلی و t دما در مرکز خط مرکزی یا صفحه مرکزی است. برای شکل های مختلف و معادلات نهایی ویژه آنها، مقدار بوسیله ویلیامسن و آدامز جدول بندی شده و در شکل ۹/۱۸ رسم شده است.
مثال ۳/۱۸ خط مرکزی دما برای یک محور.
دمای خط مرکزی یک شفت به قطر ۱۲ اینچ با دمای ابتدای ، ۱۵ دقیقه بعد از اینکه سطح آن به صورت ناگهانی به دمای می رسد را حساب کنید. مانند قبل، می تواند مقدار را داشته باشد.

از شکل ۹/۱۸ با

از معادله ۵۲/۱۸

دیوار با ضخامت متناهی که به وسیله یک سیال با مقاومت تماسی گرم شده است.
ضرایط عملی فوق توسط گروبر با گسترش یافتن توابعی که در معادلات نهایی وجود دارد مورد بررسی قرار گرفته است. شرایط نمونه حال حاضر بدین گونه است که با آن گونه سرد کردن مطابقت دارد که مقاومت تماسی بین واسط گرم کننده یا سرد کننده و هر دو طرف دیواری به صورت یک ورقه نامتناهی با ضخامت متناهی، وجود داشته باشد. دو جانبه بودن مقاومت تماسی عامل انتقال حرارت بین مایع و جامد است و همان طور که قبلاً ذکر شد باعث تعمیر کردن دمای سطح حتی در صورت ثابت باقی ماندن دمای واسطه گرمایش می شود.
روش به فرمول در آوردن و محاسبه ضریب پوسته می تواند به طور تقریبی از روش‌های فصل های قبل یا آنهایی که در فصل ۲۰ آمدند انتخاب شود در بسیاری موارد بدست آوردن یک مکانیزم مشابه برای محاسبه انتقال حرارت در که برای خنک کردن صفحات فولادی استفاده می شود، ضریب محدود کننده بین روغن و فلز متعلق به جابجایی آزاد است، که به طور مداوم همراه با زمان و همین طور که اختلاف دمای بین فلز و روغن کاهش می یابد، تغییر می کند.
یک صفحه را با دمای ابتدایی که ناگهان در گاز یا مایع با دمای محیطی ثابت غوطه ور می شود در نظر بگیرید دمای سطح بدین صورت داده می شود.
۵۳/۱۸
a53/18)
دمای صفحه مرکزی خواهد شد:
۵۴/۱۸
یاa54/18
کروبر به صورت گرافیکی توابع و را به عدد در آورده است که توسط schach شک برای صفحه و مرکز شکلهای چهار گوش در شکلهای ۶۰/۱۸ و ۷/۱۸ نشان داده شده است. زمانی که معادلات برای چه صورت بیان شوند، این فرم یعنی نمودار به جدول های شک ترجیح داده می شود.
مثال ۴/۱۸- سرد کردن: جدول شک
آهن ریخته شده به فرم لوله های بلند به ضخامت h 10، در گرمای داغ نگهداری می شوند و سپس به صورت افقی در هوای برای خنک شدن آویزان می‌شوند. مطلوبست خواسته های زیر را بعد از گذشت زمان ۴ ساعت انجام دهید.
a)دمای مسطح بعد از ۴ ساعت چه خواهد شد؟
b)دمای صفحه مرکزی بعد از چهار ساعت چه خواهد شد؟
راه حل: به منظور بدست آوردن یک ضریب میانگین از لوحه به هوا بوسیله تشعشع و جابجایی لازم است یک تعریف برای دمای سطح بعد از چهار ساعت در نظر بگیریم.
a)دمای را بعد از چهار ساعت فرض کنید. ضریب صفحه به هوا جمع ضرائب جا به جایی و تشعشع خواهد بود.

که دماها در مقیاسی رانکین هستند.برای ضریب اولیه در

از رابطه ۶۰/۶۰

ضریب کلی اولیه می شود:
برای ضریب بعد از چهار ساعت و در دمای

=ضریب کلی بعد از چهار ساعت
ضریب میانگین به نحوی کمتر از متوسط ضرائب اولیه و نهایی است، از آنجا که ضریب تشعشع همین طور که دما پایین می آید سریعاً کاهش می یابد، ضریب متوسط دمای سطحی بیشتر از دمای واقعی را بدست می دهد.
=ضریب متوسط
از ضمیمه، (تقریبی) و و

از شکل ۱۰/۱۸، داریم

b)دمای صفحه مرکزی صفحه از این قرار است:

از شکل ۱۱/۱۸،

شکلهای متناهی و نیمه متناهی گرم شده بوسیله سیال با مقاومت تماسی
با مراجعه به معادله ۱۸/۵۲a یا ۱۸/۵۳a، گارنی و لوری به این نکته توجه کردند که رابطه های مربوطه به گرم کردن شکلهای گوناگون به کمک سیال که ضرائب متناهی یا نامتناهی دارند باید به وسیله چهار گروه بی بعد بیان شوند. به کمک این عبارتهای بی بعد آنها طرحهایی برای لوحه (دیوار متناهی)، سیلندر با طول بی نهایت، کره، و جامدات نیمه متناهی تهیه کردند. این نمونه ها در شکلهای ۱۲/۱۸ تا ۱۵/۱۸ ارائه شده اند. جدولهای گارنی- لوری بسیار مفید هستند زیرا نه تنها برای محاسبات مربوط به مرکز و سطح استفاده می شوند بلکه به همان خوبی برای نقاط میانی نیز استفاده می شوند.
محور ۶ نتیجه یکسانی با جدول شک برای همان شکل بدست می دهد. اگرچه جدولهای گارنی- لوری سخت تر از جدولهای شک هستند. مسئله جامد نیمه متناهی معادل مسئله مربوط به لوحه برای دوره کوتاهی قبل از رسیدن جریان گرما به صفحه مرکزی صفحه می باشد. طرز استفاده از این جدولها بوسیله یک مسئله توضیح داده شده است.
مسئله ۵/۱۸-حدول گارنی- لوری- میله های مدور فولادی با ۸ اینچ قطر، و ۱۲ فوت درازا که به طور مقدماتی بار دمای و قبل از پرسکار، شدن در روغن خنک شده اند، دمای روغن در بوسیله یک خنک کننده روغن ثابت نگه داشته می شود. ضریب جا به جایی میانگین از یک لوله ۸ اینچی به روغنی با خصوصیات روغن خنک کن معادل است.
دما ۲ اینچ پایین تر از سطح و بعد از ۱۵ دقیقه چقدر است؟
راه حل. این مسئله مطابق شرایط مربوط به یک سیلندر بلند نامحدود است و شکل ۱۳/۱۸ مورد استفاده قرار خواهد گرفت. در دمای میانی محاسبه خواهد شد.

از شکل ۱۳/۱۸

روش نیومن برای شکلهای رایج و ترکیبی
خیلی از شکلهای که به طور مرتب در مبحث خنک سازی مورد بررسی قرار می گیرند شامل شکلهای ساده ای که تا کنون مورد بررسی قرار گرفتند نمی شوند، میان این شکلهای ساده می توان به کره، میله چهارگوشی، شمش (لوله موازی مستطیلی) و سیلندر کوتاه با طول متتابعی اشاره کرد. با جریان گرمایی که تنها در راستای محور x است دمای جمع بوسیله Y یا تعریف می شود که زیرنویسی x به راستای انتقال گرما اشاره می کند. مرکز جمع به عنوان نقطه مرجع برگزیده می‌شود.
در یک میله چهارگوشی بلند که سطح مقطع در راستای x و y فرض می شود، نیومن ثابت کرده است که دما در هر نقطه ای از سطح مقطع بوسیله معادله

بیان می شود که هر دوی و برای جریان گرما از میان یک تخته متناهی محاسبه شده اند.
به طور مشابه برای یک آجر (شمش) که سطح مقطعش با x و y در نظر گرفته می‌شود دما در هر نقطه ای می توان با

تعریف می شود که مقدار برای طول بلند شمش تعیین شده است همانند لوحه با جریان گرمایی در راستای Z. برای سیلندری با طول متناهی در صورتی که طول است و قطر ، دما می تواند با این معادله بیان شود

در اشیاء با طول متناهی اگر یکی از طرفهای صفحه بر علیه صفحه بر علیه جریان گرما ایزوله شده باشد، محاسبات مانند بالا خواهد بود به استثنای اینکه محور صفر یا نقطه مرجع به جای مرکز به دیوار عایق بندی شده منتقل شود و فاصله قائم به طرف عایق بندی شده دیوار دو برابر شود (یعنی L به جای )
اگر هر دو صفحات موازی عایق بندی شده باشند در این صورت دیگر جریان گرمای خالصی در راستایx و y یا z وجود نخواهد داشت و راستای کلی حذف شده است. به طور مشابه، این احتمال وجود دارد که ضرائب پوسته برای سطوح مختلف یک صبح، ممکن است که در همه جهت هت یکسان نباشند. به خاطر اینکه جریان سیال ممکن است به طور عمده موازی با برخی سطوح و قائم به بعضی سطوح دیگر باشد.
این موضوع تا زمانی که ضریب هر دو سطح موازی یکسان هستند و هندسه جریان گرما ثابت باقی می ماند مشکل و تداخلی با راه حل ارزشی Y برای این شکلها می تواند از جدولهای Gurners-Lurie و شک برای لوحه های متناهی و یا سیلندرهای نامتناهی بدست آید و برای اشیاء پیچیده نیز به همین ترتیب ساخته شود. یک نوع جدول شک برای سیلندر نامتناهی توسط نیومن آماده شده است. برای روشن شدن این موضوع، آجر (شمشی) را در نظر بگیرید که ابعاد و و را به ترتیب در راستاهای x، yو z دارد. فواصل دور صفحه های بیرونی شمشی از مرکزش و و تخمین زده می شوند. و مرکزش به وضوح جایی است که برای سیلندر، یا محیط دایره ای بعد عبارت است از و در صفحات انتهایی موازی .
مثال ۶/۱۸ . کاربرد روش نیومن برای گرم کردن یک شمش.
این مسئله از اطلاعات یک مثال نیومن با مقادیر عددی بدست آمده از جدول های گارنی- لوری استفاده می کند.
یک آجر نسوز به ابعاد اینچ که ابتدا در دمای قرار دارد در یک دودکش قرار داده شده که از میان این دودکش گازهای کوره با دمای در حال عبور هستند با نرخی که ضریب پوسته حاصل شده روی تمام سطوح است. دما را در نقاطی که به دنبال می آید بعد از یک ساعت تخمین بزنید.
a)صفحه آجر b)هر گوشه آجر c)مرکز صفحات اینچ d)مرکز صفحات اینچ e) مرکز صفحات اینچ f)میانه لبه های بلند.
مقادیر زیر موجود هستند:

از شکل ۱۲/۱۸
در سطح در مرکز

برای تمام موارد،

a)مرکز آجر
b)گوشه آجر

c)مرکز صفحات اینچ

d)مرکز صفحات و اینچ

e)مرکز صفحات اینچ

f)وسط لبه بلند

تعیین تصویر برای توزیع دما- زمان
توزیع دما- زمان برای بسیاری از مسائل عملی در متن های علمی دیده نمی شود زیرا راه حل های آنها طولانی و یا ریاضیات آنها بی نهایت پیچیده است. یک روش کوتاه و مفید برای بررسی گرافیکی این گونه موارد توسط ئی. اشمیت گسترش یافته است.
یک لوحه با عرض بی نهایت و ضخامت متناهی را در نظر بگیرید که در آن گرما فقط در راستای ضخامت جریان می یابد. مانند قبل، رابطه زمان- دما می تواند با حل معادله بنیادی رسانایی بدست آید:

دما در لوجه در هر نقطه ای تابع زمان و فاصله است. لوحه را به تعدادی فواصل فوتی تقسیم کنید و افزایشی در زمان معادل در نظر بگیرید. در یک فاصله ثابت x از یک سطح لوحه، تغییر افزایشی دما در خلال افزایشی متناهی زمان ، می تواند با نمایش داده شود. برای یک مقدار ثابت تغییر دما با می تواند با نمایشی داده شود. در این صورت معادله ۱۲/۲ می تواند به این ترتیب نوشته شود.
۵۵/۱۸
با بازآرایی مجدد: ۵۶/۱۸
با مراجعه به شکل ۱۸/۱۸ که در آن لوحه به بخشهایی به طول تقسیم شه است، اجازه دهید دما در نقطه ای به فاصله n عدد از مبدأ یعنی بعد از گذشت m افزایش زمانی یعنی باشد. زمانی که x ثابت است، تغییر دما با زمان در لایه از سطح می شود.
۵۷/۱۸
وقتی ثابت است، تغییر دما با فاصله می شود.
۵۸/۱۸
و برای تغییر مرتبه دو اختلاف بین دو اختلاف اولیه
۵۹/۱۸
با قرار دادن این معادله ۵۶/۱۸
۶۰/۱۸
اگر افزایش فاصله و زمان طوری انتخاب شوند که
۶۱/۱۸
معادله ۶۰/۱۸ به این ترتیب کاهش می یابد.
۶۲/۱۸
معادله ۶۲/۱۸)پایه و اساس روش گرافیکی است. این معادله بیان می کند که دما در هر نقطه و در هر زمان حد میانی ریاضی دو دما در + و – در خلال آخرین ترقی زمانی است. یک خط راست که از میان مقادیر دماها در و رسم شده است، میانه افقی را در فاصله وسطی ریاضی به دو بخش تقسیم می کند. دماها در و همان دو دمای پیش گفته هستند. روشی کامل بوسیله شکل ۱۶/۱۸ توضیح داده شده است. یک شکل هندسی نظیر یک لوحه نامتناهی را در دمای اولیه در نظر بگیرید که به طور ناگهانی در هر دو طرف خود در مجاورت یک واسط خنک ساز با مقاومت تماسی صفر و دمای قرار می گیرد. جریان گرما در راستای محور x است. از آنجایی که توزیع دما در اطراف صفحه مرکزی متقارن است، تنها یک نیمه لوح

ه باید در نظر گرفته شود و نیمی از لوحه مفروض به فواصل نمایشی داده شده با خط های افقی تقسیم می شود. اگر دمای اولیه تحت تماس در Q باشد و دما در ، باشد در آن صورت در افزایش زمانی دمای بعدی در صفحه متوسط ریاضی و خواهد بود که است. نقاط C، D، E در خلال اولین افزایش بدون تغییر باقی می مانند. در خلال دومین افزایش زمان دما در c در صفحه تا کاهش می

یابد، D و E بدون تغییر باقی می مانند. در خلال سومین ترقی زمان دما در تا و دما در D ال کاهش می یابند. در خلال این افزایش زمان، دما در صفحه مرکزی تغییر نمی کند، از این رو دما متوسط مقادیر در فاصله از صفحه مرکزی است که هر دو همچنان هستند. در خلال چهارمین افزایش دما در C از تا سقوط می کند ولی دما در صفحه مرکزی میانگین دو مقدار افقی در فاصله از صفحه مرکزی هستند و بنابراین روی یک خط افقی قرار می گیرد. رویه فوق می تواند تا بی نهایت با هر خط افقی در سراسر صفحه مرکزی که معرفی کننده دو افزایش زمانی است

ادامه یابد.
مثال ۷/۱۸ تعیین گرافیکی برای توزیع دما- زمان
یک لوحه فولادی به ضخامت ۲۰ in و در دمای ابتدایی به طور ناگهانی در هر دو سمت در مجاورت دمای قرار می گیرد. توزیع دما بعد از ۲۰ دقیقه به چه صورت خواهد بود؟
راه حل، برای سادگی فرض کنید رشد مسافتی را معادل ۲/h در نظر بگیرید.